題目列表(包括答案和解析)
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí), 又 所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對(duì)a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí), 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時(shí)
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為,無極小值
時(shí) 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對(duì)求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,)
已知,設(shè)和是方程的兩個(gè)根,不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立;函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。由題設(shè)x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
當(dāng)a∈[1,2]時(shí),的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時(shí),的最小值為3.
要使|m-5|≤|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立,只須|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判別式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
可得到要使“P∧Q”為真命題,只需P真Q真即可。
解:由題設(shè)x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
當(dāng)a∈[1,2]時(shí),的最小值為3.
要使|m-5|≤|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立,只須|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判別式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
綜上,要使“P∧Q”為真命題,只需P真Q真,即
解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8]
在函數(shù)的圖象上有、、三點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為其中.
⑴求的面積的表達(dá)式;
⑵求的值域.
【解析】由題意利用分割可先表示三角形ABC的面積,然后應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值,屬于知識(shí)的簡單綜合.
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