0  446246  446254  446260  446264  446270  446272  446276  446282  446284  446290  446296  446300  446302  446306  446312  446314  446320  446324  446326  446330  446332  446336  446338  446340  446341  446342  446344  446345  446346  446348  446350  446354  446356  446360  446362  446366  446372  446374  446380  446384  446386  446390  446396  446402  446404  446410  446414  446416  446422  446426  446432  446440  447090 

2.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立,f(3)=-3.

(1)證明:函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù); 

(2)證明:函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù); 

(3)試求函數(shù)y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域. 

(1)證明  設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1). 

∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 

故f(x)是R上的減函數(shù). 

(2)證明  ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,則有f(x)+f(-x)=f(0), 

又令a=b=0,則有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.從而x∈R,f(x)+f(-x)=0, 

∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函數(shù). 

(3)解  由于y=f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù), 

∴y=f(x)在[m,n]上也是減函數(shù),故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n). 

由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)==nf(1),同理f(m)=mf(1). 

又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m,f(n)=-n. 

∴函數(shù)y=f(x)在[m,n]上的值域?yàn)椋?n,-m].

試題詳情

1.判斷下列各函數(shù)的奇偶性: 

(1)f(x)=(x-2); 

(2)f(x)=; 

(3)f(x)=

解 (1)由≥0,得定義域?yàn)椋?2,2),關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù). 

(2)由得定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1). 

這時(shí)f(x)=. 

∵f(-x)=-∴f(x)為偶函數(shù). 

(3)x<-1時(shí),f(x)=x+2,-x>1, 

∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 

x>1時(shí),f(x)=-x+2, 

-x<-1,f(-x)=x+2=f(x). 

-1≤x≤1時(shí),f(x)=0,-1≤-x≤1, 

f(-x)=0=f(x). 

∴對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x都有f(-x)=f(x). 

因此f(x)是偶函數(shù). 

試題詳情

5.(2009·文登月考)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-4-x)=f(x+8),且y=f(x+8)為偶函數(shù),則f(x)           (  )

A.是周期為4的周期函數(shù)          ?   B.是周期為8的周期函數(shù)          

 C.是周期為12的周期函數(shù)            D.不是周期函數(shù) 

答案?C 

例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性. 

(1)f(x)=; 

(2)f(x)=log2(x+) (x∈R); 

(3)f(x)=lg|x-2|. 

解 (1)∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定義域是{-1,1}. 

∵f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 

故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 

(2)方法一  易知f(x)的定義域?yàn)镽, 

又∵f(-x)=log2[-x+]=log2=-log2(x+)=-f(x), 

∴f(x)是奇函數(shù). 

方法二  易知f(x)的定義域?yàn)镽, 

又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+]+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x), 

∴f(x)為奇函數(shù). 

(3)由|x-2|>0,得x≠2. 

∴f(x)的定義域{x|x≠2}關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù). 

例2 已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y). 

(1)求證:f(x)是奇函數(shù); 

(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值. 

(1)證明  ∵函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, 

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), 

∴f(x)為奇函數(shù). 

(2)解  方法一  設(shè)x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y), 

∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x∈R+,f(x)<0, 

∴f(x+y)-f(x)<0, ∴f(x+y)<f(x). 

∵x+y>x, ∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).

又∵f(x)為奇函數(shù),f(0)=0, 

∴f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值. 

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. 

∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3. 

方法二  設(shè)x1<x2,且x1,x2∈R. 

則f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). 

∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減. 

∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值.∵f(1)=-, 

∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. 

∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3. 

例3(12分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+2)=-f(x)?. 

(1)求證:f(x)是周期函數(shù); 

(2)若f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 009]上的所有x的個(gè)數(shù). 

(1)證明 ∵f(x+2)=-f(x), 

∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),                                  2分 

∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù).                                     3分 

(2)解  當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x, 

設(shè)-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x. 

∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x), 

∴-f(x)=-x,即f(x)=x.                                       5分 

故f(x)= x(-1≤x≤1)                                          6分 

又設(shè)1<x<3,則-1<x-2<1, 

∴f(x-2)=(x-2),                                            7分

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x), 

∴-f(x)=(x-2), 

∴f(x)=-(x-2)(1<x<3).                                       8分 

∴f(x)=                                     9分 

由f(x)=-,解得x=-1. 

∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù). 

故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).                                     10分 

令0≤4n-1≤2 009,則≤n≤, 

又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z), 

∴在[0,2 009]上共有502個(gè)x使f(x)=-.                               12分

 

試題詳情

4.已知f(x)=是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值等于                         (  ) 

?A.1           B.-1          C.0         ?D.±1 

答案?A? 

試題詳情

3.設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上單調(diào)遞增,則f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系為               (  ) 

A.f(a+1)≥f(b+2)                 B.f(a+1)≤f(b+2) 

C.f(a+1)<f(b+2)?                 D.f(a+1)>f(b+2) 

答案?D? 

試題詳情

2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為                       (  ) 

?A.-1         B.0          C.1?         D.2 

答案?B? 

試題詳情

1.(2008·福建理,4)函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,則f(-a)的值為            (  ) 

?  A.3        ?B.0          C.-1         D.-2 

答案?B? 

試題詳情

12.已知函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-. 

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性; 

(2)求f(x)在[-3,3]上的最值. 

解 (1)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù) 

證明如下: 

令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得:f(-x)=-f(x),在R上任取x1<x2,則x2-x1>0, 

∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x>0時(shí),f(x)<0, 

∴f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1).由定義可知f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù). 

(2)∵f(x)在R上是減函數(shù), 

∴f(x)在[-3,3]上也是減函數(shù). 

∴f(-3)最大,f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-=-2. 

∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在[-3,3]上最大值為2,最小值為-2.

§2.3 函數(shù)的奇偶性

 基礎(chǔ)自測(cè)

試題詳情

11.(2008·青島調(diào)研)已知f(x)=(x≠a). 

(1)若a=-2,試證f(x)在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增; 

(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍. 

(1)證明  任設(shè)x1<x2<-2,則f(x1)-f(x2)= 

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增. 

(2)解  任設(shè)1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)= 

∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,

∴a≤1.綜上所述知0<a≤1.

試題詳情

10.函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當(dāng)x>0時(shí)有f(x)>0. 

(1)求證:f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù); 

(2)若f(1)=1,解不等式f[log2(x2-x-2)]<2. 

(1)證明  設(shè)x2>x1,則x2-x1>0. 

∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,

∴f(x2)>f(x1),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù). 

(2)解  ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).  

又f[log2(x2-x-2)]<2,∴f[log2(x2-x-2)]<f(2). 

∴l(xiāng)og2(x2-x-2)<2,于是

即-2<x<-1或2<x<3.∴原不等式的解集為{x|-2<x<-1或2<x<3}.

試題詳情


同步練習(xí)冊(cè)答案