0  446479  446487  446493  446497  446503  446505  446509  446515  446517  446523  446529  446533  446535  446539  446545  446547  446553  446557  446559  446563  446565  446569  446571  446573  446574  446575  446577  446578  446579  446581  446583  446587  446589  446593  446595  446599  446605  446607  446613  446617  446619  446623  446629  446635  446637  446643  446647  446649  446655  446659  446665  446673  447090 

413.  證明推論3成立.(如圖)

已知:a∥b,求證:經(jīng)過a,b的平面有且只有一個(gè).

證明:(存在性)∵a∥b,由平行線的定義知:a、b共面,所以經(jīng)過a、b的平面有一個(gè).

(唯一性),在a上取兩點(diǎn)A、B,在b上取一點(diǎn)C.

∵a∥b,∴A、B、C三點(diǎn)不共線,由公理3知過A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè),從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.

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412.  證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).

已知:如圖,直線l1,l2,l3,l4兩兩相交,且不共點(diǎn).

求證:直線l1,l2,l3,l4在同一平面內(nèi)

解析:證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面α,然后證其它直線也在α內(nèi).

證明:圖①中,l1∩l2=P,

∴  l1,l2確定平面α.

又  l1∩l3=A,l2∩l3=C,  ∴ C,A∈α.

故  l3α.

同理  l4α.

∴  l1,l2,l3,l4共面.

圖②中,l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系,同理可證l1,l2,l3,l4共面.

所以結(jié)論成立.

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411.  直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交,交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F,如圖,求證:直線a、b、c、m、n共面.

解析: 證明若干條直線共面的方法有兩類:一是先確定一個(gè)平面,證明其余的直線在這個(gè)平面里;二是分別確定幾個(gè)平面,然后證明這些平面重合.

證明  ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個(gè)平面α.

∵A∈a,aα,∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m,B∈m,∴mα.同理可證nα.

∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β,同理可證mβ.

∵平面α、β都經(jīng)過相交直線b、m,

∴平面α和平面β重合,即直線a、b、c、m、n共面.

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410.  點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y(jié).求證:X、Y、Z三點(diǎn)共線.

解析: 證明點(diǎn)共線的基本方法是利用公理2,證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).

證明  ∵P、Q、R三點(diǎn)不共線,∴P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.

∵  X∈PQ,PQα,∴X∈α,又X∈BC,BC面BCD,∴X∈平面BCD.

∴  點(diǎn)X是平面α和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證,點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),即點(diǎn)X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.

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409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交,并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O,求證:

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi);

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交,那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).

(1)證明:∵AA1∩BB1=O,

∴AA1、BB1確定平面BAO,

∵A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi),

∴AB平面ABO;A1B1平面ABO.

同理可證,BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).

(2)分析:欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上,可根據(jù)公理2,證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi),那么,它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.

證明:如圖,設(shè)AB∩A1B1=P;

AC∩A1C1=R;

∴  面ABC∩面A1B1C1=PR.

∵  BC面ABC;B1C1面A1B1C1,

且  BC∩B1C1=Q    ∴  Q∈PR,

即  P、R、Q在同一直線上.

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408.  已知四棱錐P-ABCD,它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面ABCD,又PC=a,E為PA的中點(diǎn).

(1)求證:平面EBD⊥平面ABCD;

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離;

(3)求二面角A-BE-D的大小.

(1)證明: 在四棱錐P-ABCD中,底面是菱形,連結(jié)AC、BD,交于F,則F為AC的中點(diǎn).

又E為AD的中點(diǎn),∴EF∥PC

又∵PC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.

∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)∵EF∥PC,∴EF∥平面PBC

∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離

過F作FH⊥BC交BC于H,

∵PC⊥平面ABCD,F(xiàn)H平面ABCD

∴PC⊥FH.

又BC⊥FH,∴FH⊥平面PBC,則FH是F到平面PBC的距離,也是E到平面PBC的距離.

∵∠FCH=30°,CF=a.

∴FH=CF=a.

(3)取BE的中點(diǎn)G,連接FG、AG由(1)的結(jié)論,平面BDE⊥平面ABCD,AF⊥BD,

∴AF⊥平面BDC.

∵BF=EF=,∴FG⊥BE,由三垂線定理得,AG⊥BE,

∴∠FGA為二面角D-BE-A的平面角.

FG=×a,AF=a.

∴tg∠FGA=,∠FAG=arctg

即二面角A-BE-D的大小為arctg

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407.  如圖,在三棱柱ABC-A′B′C′中,四邊形A′ABB′是菱形,四邊形BCC′B′是矩形,C′B′⊥AB.

(1)求證:平面CA′B⊥平面A′AB;

(2)若C′B′=2,AB=4,∠ABB′=60°,求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)

解析:(1)∵在三棱柱ABC-A′B′C中,C′B′∥CB,∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′,AB∩BB′=B,∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B,∴平面CA′B⊥平面A′AB

(2)由四邊形A′ABB′是菱形,∠ABB′=60°,連AB′,可知ΔABB′是正三角形.取   B B′中點(diǎn)H,連結(jié)AH,則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB,得平面A′ABB′⊥平面     C′B′BC,而AH垂直于兩平面交線BB′,∴AH⊥平面C′B′BC.連結(jié)C′H,則∠AC′H為   AC′與平面BCC′B′所成的角,AB′=4,AH=2,于是直角三角形C′B′A中,A′C=5,在RtΔAHC′中,sin∠AC′H=∴∠AC′H=arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.

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406.  如圖,在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD為矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).

(1)求二面角α-l-β的大。

(2)求證:MN⊥AB;

(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.

解析:(1)連PD,∵ABCD為矩形,∴AD⊥DC,即AD⊥l.又PA⊥l,∴PD⊥l.

∵P、D∈β,則∠PDA為二面角α-l-β的平面角.

∵PA⊥AD,PA=AD,∴ΔPAD是等腰直角三角形,∴∠PDA=45°,即二面角α-l-β的大小為45°.

(2)過M作ME∥AD,交CD于E,連結(jié)NE,則ME⊥CD,NE⊥CD,因此,CD⊥平面MNE,∴CD⊥MN.∵AB∥CD,∴MN⊥AB

(3)過N作NF∥CD,交PD于F,則F為PD的中點(diǎn).連結(jié)AF,則AF為∠PAD的角平線,∴∠FAD=45°,而AF∥MN,∴異面直線PA與MN所成的45°角.

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405.  如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD,AP=a.求:(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函數(shù)表示);(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.

解析:(1)作CD′⊥AD于D′,∴ABCD′為矩形,CD′=AB=a,在RtΔCD′D中.

∵∠ADC=arcsin,即⊥D′DC=arcsin

∴sin∠CDD′=

∴CD=a  ∴D′D=2a

∵AD=3a,∴AD′=a=BC

又在RtΔABC中,AC=a,

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB.

在RtΔPAB中,可得PB=a.

在RtΔPAC中,可得PC=a.

在RtΔPAD中,PD=a.

∵PC2+CD2=(a)2+(a)=8a2<(a)2

∴cos∠PCD<0,則∠PCD>90°

∴作PE⊥CD于E,E在DC延長(zhǎng)線上,連AE,由三垂線定理的逆定理得AE⊥CD,∠AEP為二面角P-CD-A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE=arcsin,AD=3a.

∴AE=AD·sin∠ADE=3a·a.

在RtΔPAE中,tan∠PEA=.

∴∠AEP=arctan,即二面角P-CD-A的大小為arctan.

(2)∵AD⊥PA,AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD,∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB,作AH⊥PB于H,∴AH⊥平面PBC.

AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離.

在RtΔPAB中,AH=a.

即A到平面PBC的距離為a.

說明  (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長(zhǎng)線上,而直接作AE⊥CD于E,得PE⊥CD,從而∠PEA為所求,同樣可得結(jié)果,避免過多的推算.(2)中距離的計(jì)算,在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求.

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404.  如果直線l、m與平面α、β、滿足l=β∩,l∥α,mα和m⊥.那么必有(   )

A.α⊥且l⊥m       B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m        D.α∥β且α⊥

解析:∵mα,m⊥.  ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩=l.  ∴m⊥l.

∴應(yīng)選A.

說明  本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力.

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同步練習(xí)冊(cè)答案