0  446478  446486  446492  446496  446502  446504  446508  446514  446516  446522  446528  446532  446534  446538  446544  446546  446552  446556  446558  446562  446564  446568  446570  446572  446573  446574  446576  446577  446578  446580  446582  446586  446588  446592  446594  446598  446604  446606  446612  446616  446618  446622  446628  446634  446636  446642  446646  446648  446654  446658  446664  446672  447090 

403.求證:在已知二面角,從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn),到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù).

已知:二面角α-ED-β,平面過(guò)ED,A∈,AB⊥α,垂足是B.AC⊥β,垂足是C.

求證:AB∶AC=k(k為常數(shù))

證明:過(guò)AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F,連結(jié)AF、BF、CF.

∵AB⊥α,AC⊥β.∴AB⊥DE,AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE,AF⊥DE,CF⊥DE.

∠BFA,∠AFC分別為二面角α-DE-,-DE-β的平面角,它們?yōu)槎ㄖ?

在RtΔABF中,AB=AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中,AC=AF·sin∠AFC,得:

=定值.

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402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,求證:它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ).

已知:從二面角α-AB-β內(nèi)一點(diǎn)P,向面α和β分別引垂線PC和PD,它們的垂足是C和D.求證:∠CPD和二面角的平面角互補(bǔ).

證:設(shè)過(guò)PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E,

∵PC⊥α,PD⊥β

∴PC⊥AB,PD⊥AB

∴CE⊥AB,DE⊥AB

又∵CEα,DEβ,∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.

在四邊形PCED內(nèi):∠C=90°,∠D=90°

∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互補(bǔ).

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401.  如圖,在ΔABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜邊AB上的點(diǎn),以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B后,D在怎樣的位置時(shí),AB為最小,最小值是多少?

解析: 設(shè)∠ACD=θ,則∠BCD=90°-θ,作AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,于是AM=bsinθ,CN=asinθ.

∴MN=|asinθ-bcosθ|,因?yàn)锳-CD-B是直二面角,AM⊥CD,BN⊥CD,∴AM與BN成90°的角,于是AB=.

∴當(dāng)θ=45°即CD是∠ACB的平分線時(shí),AB有最小值,最小值為.

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400. 斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,AB=AC=10,BC=12,A1到A、B、C三點(diǎn)的距離都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的側(cè)面積。

解析:∵A1A=A1B=A1C

∴ 點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心,在∠BAC平分線AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD為A1A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA1

∴ BC⊥BB1

∴ BB1C1C為矩形,S=BB1×BC=156

取AB中點(diǎn)E,連A1E

∵ A1A=A1B

∴ A1E⊥AB

∴ S側(cè)=396

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399. 四棱錐V-ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠BAD=1200,VA⊥底面ABCD,VA=3,AC與BD交于O,(1)求點(diǎn)V到CD的距離;(2)求點(diǎn)V到BD的距離;(3)作OF⊥VC,垂足為F,證明OF是BD與VC的公垂線段;(4)求異面直線BD與VC間的距離。

解析:用三垂線定理作點(diǎn)到線的垂線

在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD,E為垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE為VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 線段VE長(zhǎng)為點(diǎn)V到直線CD的距離

∵ ∠BAD=1200

∴ ∠ADC=600

∴ △ACD為正三角形

∴ E為CD中點(diǎn),AE=

∴ VE=

  (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂線定理VO⊥BD

∴ VO長(zhǎng)度為V到直線BD距離

  VO=

  (3)只需證OF⊥BD

   ∵ BD⊥HC,BD⊥VA

   ∴ BD⊥平面VAC

   ∴ BD⊥OF

   ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線

  (4)求出OF長(zhǎng)度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2,VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

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398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O,過(guò)直徑AB的端點(diǎn)A作PA⊥α,PA=a,C是⊙O上一點(diǎn),∠CAB=600,求三棱錐P-OBC的側(cè)面積。

解析:三棱錐P-OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個(gè)三角形組成

在求出邊長(zhǎng)元素后,求三角形面積時(shí),應(yīng)注意分析三角形的形狀,簡(jiǎn)化計(jì)算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO,AC為PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△                                                                      POB中,

△                                                                      PBC中,BC=ABsin600=2a

∴ AC=a

∴ PC=

△                                                                      POC中,PO=PC=,OC=a

∴ S側(cè)=

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397. 斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形,側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角,AA1=7

  (1)求證:AA1⊥BC;(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面積;(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積;(4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。

解析:設(shè)A1在平面ABC上的射影為0

∵ ∠A1AB=∠A1AC

∴ O在∠BAC的平行線AM上

∵ △ABC為正三角形

∴ AM⊥BC

又AM為A1A在平面ABC上的射影

∴ A1A⊥BC

  (2)

∵ B1B∥A1A

∴ B1B⊥BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形

∴ S=

  (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB

∴ cos∠A1AO=

∴ sin∠A1AO=

∴ A1O=A1Asin∠A1AO=

  (4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離

為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影,首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面

設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1

∵ BC⊥AM,BC⊥A1A

∴ BC⊥平面AA1M1M

∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1

在平行四邊形AA1M1M中

過(guò)A1作A1H⊥M1M,H為垂足

則A1H⊥側(cè)面BB1C1C

∴ 線段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離

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396. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,在側(cè)棱BB1上截取BD=,在側(cè)棱CC1上截取CE=a,過(guò)A、D、E作棱柱的截面ADE

  (1)求△ADE的面積;(2)求證:平面ADE⊥平面ACC1A1。

解析:分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長(zhǎng)

AE=a,AD=a,DE=

∴ 截面ADE為等腰三角形

  S=

  (2)∵ 底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C

∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1C1C

下設(shè)法把BM平移到平面AED中去

取AE中點(diǎn)N,連MN、DN

∵ MNEC,BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA1C1C

∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C

試題詳情

395. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠BAC=300,BC=1,AA1=,M為CC1中點(diǎn),求證:AB1⊥A1M。

解析:因結(jié)論是線線垂直,可考慮用三垂線定理或逆定理

∵ ∠ACB=900

∴ ∠A1C1B1=900

即B1C1⊥C1A1

又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1

∴ B1C1⊥平面AA1C1C

∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影

由三垂線定理,下證AC1⊥A1M即可

在矩形AA1C1C中,AC=A1C1=,AA1=CC1=

,

∴ Rt△A1C1M∽R(shí)t△AA1C1

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=900

∴ ∠1+∠3=900­

∴ AC1⊥A1M

∴ AB1⊥A1M

評(píng)注:利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線

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394. 如右圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥BC1,AB⊥AC,AB=3,AC=2,側(cè)棱與底面成60°角。

(1)求證:AC⊥面ABC1;

(2)求證:C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上;

(3)求此三棱柱體積的最小值。

解析:(1)由棱柱性質(zhì),可知A1C1//AC

       ∵A1C1BC1, 

       ∴ACBC1,又∵ACAB,∴AC平面ABC1

     (2)由(1)知AC平面ABC1,又AC平面ABC,∴平面ABC平面ABC1

        在平面ABC1內(nèi),過(guò)C1作C1HAB于H,則C1H平面ABC,故點(diǎn)C1在平面ABC上

        的射影H在直線AB上。

     (3)連結(jié)HC,由(2)知C1H平面ABC,

        ∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角,

        ∴∠C1CH=60°,C1H=CH·tan60°=

        V棱柱=

        ∵CAAB,∴CH,所以棱柱體積最小值3。

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同步練習(xí)冊(cè)答案