472. 已知D為平面ABC外一點,且DA、DB、DC兩兩垂直.求證:頂點D所對的三角形面積的平方等于其余三個三角形面積的平方和,即.
解析:如圖答9-25,設(shè)DA=a,DB=b,DC=c,則,,.在△ABD中,作DM⊥AB于M,則. ∵ CD⊥AD,CD⊥DB,∴ CD⊥平面ADB,∴ CD⊥DM.在Rt△CDM中,
, ∴
圖答9-25
471. 在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥平面ABC.求證:△ABD是銳角三角形.
解析:如圖答9-24,設(shè)AC=a,BC=b,CD=c,∵ △ACD是Rt△,∴ . ∵ △ABC是Rt△,∴ .∵ △BCD是Rt△,∴ .而在
△ABD中,,又∵ ∠BAD是三角形內(nèi)角,∴ 0°<∠BAD<180°,∴ ∠BAD是銳角,同理∠ABD、∠ADB是銳角,∴ △ABD是銳角三角形.
470. 如圖9-55,將邊長為a的正三角形ABC按它的高AD為折痕折成一個二面角.
(1)指出這個二面角的面、棱、平面角;
(2)若二面角是直二面角,求的長;
(3)求與平面所成的角;
(4)若二面角的平面角為120°,求二面角的平面角的正切值.
解析:(1)∵ AD⊥BC,∴ AD⊥DC,,∴ 二面角的面為ADC和面,棱為AD,二面角的平面角為.
(2)若,∵ AC=a,∴ ,∴ .
(3)∵ ,AD⊥DC,∴ AD⊥平面.∴ 為與平面所成的角,在Rt△中,,∴ ,于是
.
(4)取的中點E,連結(jié)AE、DE,∵ ,,∴ ,,∴ ∠AED為二面角的平面角,∵ ,,∴ ,在Rt△AED中,,∴
469. 在正方體中,,,且,(如圖9-54).求:平面AKM與ABCD所成角的大。
解析:由于BCMK是梯形,則MK與CB相交于E.A、E確定的直線為l,過C作CF⊥l于F,連結(jié)MF,因為MC⊥平面ABCD,CF⊥l,故MF⊥l.∠MFC是二面角M-l-C的平面角.設(shè)正方體棱長為a,則,.在△ECM中,由BK∥CM可得,,故.因此所求角的大小為或.
468. .如圖9-53,是長方體,AB=2,,求二平面與所成二面角的大。
解析:∵ 平面ABCD∥平面,∴ 平面與平面的交線l為過點且平行于AC的直線.直線l就是二平面與所成二面角的棱.又⊥平面,過作AH⊥l于H,連結(jié)AH.則為二面角的平面角.可求得.因此所求角的大小為或
467. 平面a ⊥平面g ,平面b ⊥平面g ,且a ∩g =a,b ∩g =b,a∥b,平面a 與b 的位置關(guān)系是________.
解析:平行.在g 上作l⊥a,∵ a∥b,∴ l⊥b.∵ a ⊥g 于a,∴ l⊥a ,同理l⊥b .∴ a ∥b .
466. 已知二面角a -l-b 的大小為q (q 是銳角),A∈l,B∈l,,且P∈a ,P在b 內(nèi)的射影為P′.記△ABP的面積為S,則△ABP′的面積S′等于________.
解析:Scosq .作PH⊥l于H,連結(jié).∵ ,∴ (三垂線定理的逆定理).∴ 為二面角a -l-b 的平面角,即.,,∴
圖答9-46
465. 如圖9-52,A是△BCD所在平面外一點,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,則二面角A-BD-C的平面角是( ).
A.鈍角 B.直角
C.銳角 D.大小不確定的
解析:A.取BD中點E,連結(jié)AE、CE,由AB=AD,∠ABC=∠ADC,AC=AC得△ABC≌△ADC,∴ DC=BC,∴ AE⊥BD,CE ⊥ BD,∴ ∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.∵ ,,,∴
,∵ ∠AEC為鈍角
464. 一條線段的兩個端點分別在一個直二面角的兩個面內(nèi)(都不在棱上),則這條線段與這兩個平面所成的角的和( ).
A.等于90° B.大于90°
C.不大于90° D.不小于90°
解析:C.如圖答9-45,設(shè)直二面角a -l-b ,作AC⊥l于C,BD⊥l于D.∵ a ⊥b ,則AC⊥b ,BD⊥a ,連結(jié)BC、AD,則∠ABC為AB與平面b 所成的角,∠BAD為AB與平面a 所成的角.
當(dāng)AB⊥l時,易得AB與a 、b 所成角之和等于90°,當(dāng)AB與l不垂直時,設(shè),,,, ,∵ BC>BD,∴ ,∵ 函數(shù)y=sinx在上是增函數(shù),∴ ,∵ ,∴ ,∴ .故AB與a 、b 所成角之和≤90°.
463. 設(shè)直線l、m,平面a 、b 、g 滿足b ∩g =l,l∥a ,ma ,且m⊥g ,則必有( ).
A.a ⊥g ,且l⊥m B.a ⊥g ,且m∥b
C.m∥b ,且l⊥m D.a ∥b ,且a ⊥g
解析:A.
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