0  446491  446499  446505  446509  446515  446517  446521  446527  446529  446535  446541  446545  446547  446551  446557  446559  446565  446569  446571  446575  446577  446581  446583  446585  446586  446587  446589  446590  446591  446593  446595  446599  446601  446605  446607  446611  446617  446619  446625  446629  446631  446635  446641  446647  446649  446655  446659  446661  446667  446671  446677  446685  447090 

532.  如圖,正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a,點(diǎn)P、Q分別在BD和SC上,并且BP∶PD=1∶2,PQ∥平面SAD,求線段PQ的長.

解析: 要求出PQ的長,一般設(shè)法構(gòu)造三角形,使PQ為其一邊,然后通過解三角形的辦法去處理.

作PM∥AD交CD于M連QM,∵PM∥平面SAD,PQ∥平面SAD.

∴平面PQM∥平面SAD,而平面SCD分別與此兩平行平面相交于QM,SD.

∴QM∥SD.

∵BC=a,SD=2a.

.

,MP=a,

.

∴MQ=SD=a,又∠PMQ=∠ADS.

∴cos∠PMQ=cos∠ADS=.

在ΔPMQ中由余弦定理得

PQ2=(a)2+(a)2-2·a2.

∴PQ=a.

評析:本題的關(guān)鍵是運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì),結(jié)合平行線截比例線段定理,最后由余弦定理求得結(jié)果,綜合性較強(qiáng).

試題詳情

531.  如果一條直線和兩個(gè)平面中的一個(gè)相交,那么它和另一個(gè)平面也相交.

已知:α∥β,l∩α=A.

求證:l與β相交.

證明:∵α∥β,l∩α=A

∴Aβ.

假設(shè)l與β不相交,則l∥β

在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)D,則Dl.

∴點(diǎn)D、l確定平面PBD,如圖

∵α與平面PBD相交于過A的一條直線AC,

β與平面PBD相交于過點(diǎn)D的一條直線BD.

又α∥β  ∴AC與BD無公共點(diǎn).

∵AC和BD都在平面PBD內(nèi),

∴AC∥BD.

由l∥β可知l∥BD.

∴AC∥l且l與AC相交于A.

∴AC與l重合,又AC在平面α內(nèi).

∴l(xiāng)在α內(nèi)與l∩α=A矛盾.

∴假設(shè)不成立,

∴l(xiāng)與β必相交.

試題詳情

530. 已知:平面α∥平面β,且aα,b平面β,a,b為兩條異面直線.

求證:異面直線a、b間的距離等于平面α,β之間的距離.

證:設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段,如圖過點(diǎn)B,作直線a′,使a′∥a.

∵α∥β,aβ,

∴a∥β,∴a′β.

∵AB⊥a,∴AB⊥a′

又AB⊥b,且a′∩b=B.

∴AB⊥β

∵α∥β,∴AB⊥α

∴AB的長是平行平面α,β間的距離.

說明  求兩異面直線間的距離有時(shí)可能轉(zhuǎn)化為求兩平行平面間的距離.

試題詳情

529. 已知a、b是異面直線,aα,a∥β,bβ,b∥α,求證α∥β.

解析: 證明兩個(gè)平面平行通常利用判定定理來證.

證明  如圖,過a作任一平面和平面β交于a′,

∵a∥β  ∴a∥a′.

又a′β,a′α

∴a′∥α且a′與b相交,

∵bβ,b∥α.

∴α∥β.

另證設(shè)c是異面直線a、b的公垂線,則過a、c可以確定一個(gè)平面,設(shè)γ∩β=a′∵a∥β,∴a′∥a,

∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交,∴c⊥β

同理可證:c⊥α,∴α∥β

試題詳情

528.  如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形,∠A=60°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E是PA的中點(diǎn).

(1)求證平面BDE⊥平面ABCD.

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離.

(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析:(1)設(shè)O是AC,BD的交點(diǎn),連結(jié)EO.

∵ABCD是菱形,∴O是AC、BD的中點(diǎn),

∵E是PA的中點(diǎn),∴EO∥PC,又PC⊥平面ABCD,

∴EO⊥平面ABCD,EO平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC,PC平面PBC,

∴EO∥平面PBC,于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作OF⊥BC于F,

∵EO⊥平面ABCD,EO∥PC,PC平面PBC,∴平面PBC⊥平面ABCD,于是OF⊥平面PBC,OF的長等于O到平面PBC的距離.

由條件可知,OB=,OF=×a,則點(diǎn)E到平面PBC的距離為a.

(3)過O作OG⊥EB于G,連接AG

∵OE⊥AC,BD⊥AC

∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂線定理)

∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE=PC=a,OB=a

∴EB=a.

∴OG=a  又AO=a.

∴tan∠AGO=

∴∠AGO=arctan.

評析  本題考查了面面垂直判定與性質(zhì),以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離,及二面角的求法,三垂線定理及逆定理的應(yīng)用.

說明  處理翻折問題,只要過不在棱上的點(diǎn)作棱的垂直相交的線段,就可以化成基本題

試題詳情

527.  在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°的角.(如圖所示)

(1)求點(diǎn)C′到平面AB′C的距離;

(2)求二面角B-B′C-A的余弦值.

解析:(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC平面AB′C,∴A′C′∥平面AB′C,于是C′到平面AB′C的距離等于點(diǎn)A′到平面AB′C的距離,作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′,∴A′M⊥平面AB′C,A′M的長是A′到平面AB′C的距離.

∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC=,AB′=,A′M=.

即C′到平面AB′C的距離為;

(2)作AN⊥BC于N,則AN⊥平面B′BCC′,作NQ⊥B′C于Q,則AQ⊥B′C,∴∠AQN是所求二面角的平面角,AN=,AQ==1.∴sin∠AQN=,cos∠AQN=.

說明  利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式,也可以求二面角的大小,如圖,AB=BB′=1,∴AB′=,又∠B′CB=30°,

∴BC=,B′C=2,AC=.作AM⊥B′C于M,BN⊥B′C于N,則AM=1,BN=,

CN=,CM=1,∴MN=.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN與AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.設(shè)為θ.由AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ=.

試題詳情

526.  如圖所示,在三棱錐S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=SC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).

解法一:由于SB=BC,且E是SC中點(diǎn),因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,

∴SC⊥平面BDE,

∴SC⊥BD,

又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SA∩SC=S,

所以BD⊥平面SAC.

∵DE=平面SAC∩平面BDE,DC=平面SAC∩平面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,

∴SA⊥AB,SA⊥AC.

設(shè)SA=a,則AB=a,BC=SB=a.

又AB⊥BC,所以AC=a.在RtΔSAC中

tg∠ACS=,所以∠ACS=30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn),因此BE是等腰ΔSBC的底邊SC的中線,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.

∴SC⊥平面BDE,SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以,AC是SC在平面ABC上的射影,由三垂線定理的逆定理得BD⊥AC;又E∈SC,AC是SC在平面內(nèi)的射影,所以E在平面ABC內(nèi)的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC內(nèi)的射影在AC上,根據(jù)三垂線定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE,DC平面BDC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

以下解法同解法一.

試題詳情

525.  如圖,四面體ABCD的棱BD長為2,其余各棱的長均是,求:二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析:(1)取BD的中點(diǎn)O,連AO、OC.

在ΔABD中,∵AB=AD=,BD=2,

∴ΔABD是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO=OC=1,AC=

∴∠AOC=90°.

即二面角A-BD-C為直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD內(nèi)的射影是ΔBOC.

∵SΔOCB,SΔABC,∴cosθ=.

即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中點(diǎn)E,連BE、DE.

∵AB=BC,AD=DC,

∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中,BE=DE=,由余弦定理,得cosα=-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

評析  本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函數(shù)值,或利用面積的射影公式S′=S·cosθ求得.

試題詳情

524.  在三棱錐S-ABC中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且SA=SB=SC,求證:平面ASC⊥平面ABC.

證明  取AC的中點(diǎn)O,連SO、BO,由已知,得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC=AB=a,SA=SC=a,又SO⊥AC,BO⊥AC,∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA=AB=a,SC=BC=a,AC=AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO=BO=a.

在ΔSOB中,∵SB=a,∴∠SOB=90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另證:過S作SO⊥平面ABC,垂足是O.∵SA=SB=SC,∴S在平面內(nèi)的射影是ΔABC的外心,同前面的證明,可知ΔABC是直角三角形,∴O在斜邊AC上.

又∵平面SAC經(jīng)過SO,∴平面SAC⊥平面ABC

說明  證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是90°,或利用判定定理證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線.

試題詳情

523. 直線a、b是異面直線,a⊥平面α,b⊥平面β,a⊥b,求證:α⊥β.

證明  過b上任意一點(diǎn)作直線a′,使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.

設(shè)相交直線a′、b確定一個(gè)平面,∩β=c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面內(nèi),b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ,∴β⊥α

試題詳情


同步練習(xí)冊答案