Question

15．如圖1，已知∠ABC=90°，動點P在射線BC上（點P與點B不重合）移動，△ABE與△APQ均是等邊三角形，連結(jié)QE并延長交射線BC于點F．
（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時，∠EBF=30°，猜想∠QFC=60°；
（2）如圖1，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；
（3）已知線段AB=2$\sqrt{3}$，設(shè)BP=x，點Q到射線BC的距離為y，請用含x的代數(shù)式表示y，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠EBF，并猜想∠QFC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）過點F作FG⊥BE于點G，過點Q作QH⊥BC，根據(jù)△ABP≌△AEQ得到：設(shè)QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2．點Q到射線BC的距離y=QH=sin60°×QF，列出關(guān)系式．

解答 解：（1）∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBF=∠ABC-∠ABE=30°，
猜想得，∠QFC=60°，
故答案為：30；60；
（2）∠QFC=60°．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；
（3）在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G，點Q作QH⊥BC，垂足為H，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2$\sqrt{3}$．
由（1）得∠EBF=30°．
又∵∠QFC=60°
∴∠EBF=∠BEF，
∴BF=EF，
∵FG⊥BE
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{3}$，
∴BF=2，
∵Rt△ABP≌Rt△AEQ，
∴QE=BP=x，
則QF=QE+EF=x+2．
過點Q作QH⊥BC，垂足為H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+2），
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．