Question

18．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．
（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；
（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根據(jù)∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；                
（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD交BD于點(diǎn)P，根據(jù)△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，再根據(jù)DG=DP+PG求出DG，最后根據(jù)DG=BE即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，
∵ABCD和AEFG為正方形，
∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠GAD=∠GAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE，
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠HBG=∠EBA，
∴∠HGB+∠HBG=90°，
∴DG⊥BE；                

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD交BD于點(diǎn)P，
∵ABCD和AEFG為正方形，
∴在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴DG=BE，
∵∠APD=90°，
∴AP=DP=$\sqrt{2}$，
∵AG=2$\sqrt{2}$，
∴PG=$\sqrt{A{G}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴DG=DP+PG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵DG=BE，
∴BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形．