Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．則正方形ABCD的面積為5，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C，則正方形A₁B₁C₁C的面積為$\frac{45}{4}$；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面積為5×${（{\frac{9}{4}}）^{2015}}$．

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)和面積，再求出第一個(gè)正方形A₁B₁C₁C的面積，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求出正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面積．

解答 解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{5}$）²=5，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面積=（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=5×$\frac{9}{4}$=$\frac{45}{4}$，…，第n個(gè)正方形的面積為5×（$\frac{9}{4}$）ⁿ，
∴第2015個(gè)正方形即A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面積為5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵；
故答案為：5，$\frac{45}{4}$，5×${（{\frac{9}{4}}）^{2015}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；通過(guò)求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面積得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．