【題目】正方形ABCD的邊長為3,點E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運動,且DE=DF.連接BF,作EH⊥BF所在直線于點H,連接CH.
(1)如圖1,若點E是DC的中點,CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖2,當點E在DC邊上且不是DC的中點時,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立給出證明;若不成立,說明理由;
(3)如圖3,當點E,F(xiàn)分別在射線DC,DA上運動時,連接DH,過點D作直線DH的垂線,交直線BF于點K,連接CK,請直接寫出線段CK長的最大值.
【答案】(1)CH=AB;(2)當點E在DC邊上且不是DC的中點時,(1)中的結(jié)論CH=AB仍然成立.證明見解析.(3).
【解析】
試題分析:(1)首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABF≌△CBE,即可判斷出∠1=∠2;然后根據(jù)EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上,判斷出∠4=∠HBC,即可判斷出CH=BC,最后根據(jù)AB=BC,判斷出CH=AB即可.
(2)首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABF≌△CBE,即可判斷出∠1=∠2;然后根據(jù)EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上,判斷出∠4=∠HBC,即可判斷出CH=BC,最后根據(jù)AB=BC,判斷出CH=AB即可.
(3)首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,可得CK<AC+AK,據(jù)此判斷出當C、A、K三點共線時,CK的長最大;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△DFK≌△DEH,即可判斷出DK=DH,再根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△DAK≌△DCH,即可判斷出AK=CH=AB;最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB,求出線段CK長的最大值是多少即可.
試題解析:(1)如圖1,連接BE,
,
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,
∵點E是DC的中點,DE=DF,
∴點F是AD的中點,
∴AF=CE,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠1=∠2,
∵EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴∠4=∠HBC,
∴CH=BC,
又∵AB=BC,
∴CH=AB.
(2)當點E在DC邊上且不是DC的中點時,(1)中的結(jié)論CH=AB仍然成立.
如圖2,連接BE,
,
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°,
∵AD=CD,DE=DF,
∴AF=CE,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠1=∠2,
∵EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴∠4=∠HBC,
∴CH=BC,
又∵AB=BC,
∴CH=AB.
(3)如圖3,
,
∵CK≤AC+AK,
∴當C、A、K三點共線時,CK的長最大,
∵∠KDF+∠ADH=90°,∠HDE+∠ADH=90°,
∴∠KDF=∠HDE,
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°,
∠DFK+∠DFH=180°,
∴∠DFK=∠DEH,
在△DFK和△DEH中,
∴△DFK≌△DEH,
∴DK=DH,
在△DAK和△DCH中,
∴△DAK≌△DCH,
∴AK=CH
又∵CH=AB,
∴AK=CH=AB,
∵AB=3,
∴AK=3,AC=3,
∴CK=AC+AK=AC+AB=,
即線段CK長的最大值是.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分別為BC,AC邊上的高,連接DE,過點D作DF⊥DE交BE于點F,G為BE中點,連接AF,DG.
(1)如圖1,若點F與點G重合,求證:AF⊥DF;
(2)如圖2,請寫出AF與DG之間的關(guān)系并證明.
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【題目】如圖, 直線與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C、D分別為線段AB、OB的中點, 點P為OA上一動點, 當PC+PD最小時, 點P的坐標為( )
A.(-4,0)B.(-1,0)C.(-2,0)D.(-3,0)
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【題目】為弘揚泰山文化,我市某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動,小學、初中部根據(jù)初賽成績,各選出5名選手組成小學代表隊和初中代表隊參加學校決賽。兩個隊各選出的5名選手的決賽成績(滿分為100分)如下圖所示.
(1)根據(jù)圖示填寫圖表;
(3)計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定.
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
小學部 | 85 | ||
初中部 | 85 | 100 |
(2)結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好;
(3)計算兩隊決賽成績的方差并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定.
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【題目】如圖,一條河的兩岸BC與DE互相平行,兩岸各有一排景觀燈(圖中黑點代表景觀燈),每排相鄰兩景觀燈的間隔都是10 m,在與河岸DE的距離為16 m的A處(AD⊥DE)看對岸BC,看到對岸BC上的兩個景觀燈的燈桿恰好被河岸DE上兩個景觀燈的燈桿遮。影禗E上的兩個景觀燈之間有1個景觀燈,河岸BC上被遮住的兩個景觀燈之間有4個景觀燈,求這條河的寬度.
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【題目】如圖,在中,,,,點在邊上,從點向點移動,點在邊上,從點向點移動,若點,均以的速度同時出發(fā),且當一點移動終點時,另一點也隨之停止,連接,則線段的最小值是( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象的頂點為點,與軸交于點,與軸交于、兩點,點在原點的左側(cè),點的坐標為,,.
()求這個二次函數(shù)的表達式.
()經(jīng)過、兩點的直線,與軸交于點,在該拋物線上是否存在這樣的點,使以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
()如圖,若點是該拋物線上一點,點是直線下方的拋物線上一動點,當點運動到什么位置時,的面積最大?求出此時點的坐標和的最大面積.
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【題目】如圖,已知拋物線與軸相交于、兩點,與軸相交于點.若已知點的坐標為.點在拋物線的對稱軸上,當為等腰三角形時,點的坐標為________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)(x>0)與正比例函數(shù)y=kx、 (k>1)的圖象分別交于點A、B,若∠AOB=45°,則△AOB的面積是________.
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