Question

13．若x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+bx+c=0的兩實(shí)根，且${x_1}^2+3{x_2}^2=3|k|$（k為整數(shù)），則稱方程x²+bx+c=0為“B系二次方程”，如：x²+2x-3=0，x²+2x-15=0，${x^2}+3x-\frac{27}{4}=0$，${x^2}+x-\frac{15}{4}=0$，x²-2x-3=0，x²-2x-15=0等，都是“B系二次方程”．請(qǐng)問：對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)b，是否存在實(shí)數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”，并說明理由．

Answer 1

分析 由條件x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”進(jìn)行建模，設(shè)c=mb²+n，就可以表示出c，然后根據(jù)公式法求出其兩根，再代入x₁²+3x₂²看結(jié)果是否為3的整數(shù)倍即可得出結(jié)論．

解答 解：存在．
理由：x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”，
∴假設(shè)c=mb²+n，
當(dāng)b=-2，c=-15時(shí)，-15=4m+n，
∵x²=0是“B系二次方程”，
∴n=0時(shí)，m=-$\frac{15}{4}$，
∴c=-$\frac{15}{4}$b²，
∵x²+2x-15=0，是“B系二次方程”，
當(dāng)b=2時(shí)，c=-$\frac{15}{4}$×2²，
∴可設(shè)c=-$\frac{15}{4}$b²，
對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)b，當(dāng)c=-$\frac{15}{4}$b²時(shí)，△=b²-4ac=16b²．
∴x=$\frac{-b±4b}{2}$，
即x₁=$\frac{3}{2}$b，x₂=-$\frac{5}{2}$b，
∴x₁²+3x₂²=$\frac{9}{4}$b²+3×$\frac{25}{4}$b²=21b²，
∵b是整數(shù)，
∴對(duì)于任何一個(gè)整數(shù)b，當(dāng)c=-$\frac{15}{4}$b²時(shí)，關(guān)于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決問題需要掌握一元二次方程的解法的運(yùn)用、根的判別式的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，解答本題時(shí)根據(jù)條件特征建立模型是關(guān)鍵．