Question

8．如圖，有一Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一條線段PQ=AB，P點在AC上，Q點在過A點且垂直于AC的射線AM上運動．當△ABC和△APQ全等時，點Q到點A的距離為10cm或5cm．

Answer 1

分析 分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AQ=AC=10cm，②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AQ=BC=5cm．

解答 解：根據三角形全等的判定方法HL可知：
①當P運動到AP=BC時，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AQ=AC=10cm；
②當P運動到與C點重合時，AP=AC，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AQ=BC=5cm，
綜上所述，當△ABC和△APQ全等時，點Q到點A的距離為10cm或5cm．
故答案為10cm或5cm．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．