Question

19．如圖①，已知∠MON=Rt∠，點(diǎn)A，P分別是射線OM，ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OP=6，動(dòng)點(diǎn)B從點(diǎn)O向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，以AB為斜邊向右側(cè)作等腰直角△ABC，設(shè)線段OB的長(zhǎng)x，點(diǎn)C到射線ON的距離為y．
（1）若OB=2，直接寫(xiě)出點(diǎn)C到射線ON的距離；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并在圖②中畫(huà)出函數(shù)圖象；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）OB=2時(shí)，四邊形OACB是正方形，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．由△CEA≌△CFB，推出AE=CF，CE=CF，由∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，推出四邊形OECF是矩形，由CE=CF，
推出四邊形OECF是正方形，根據(jù)AE=y-2，F(xiàn)B=x-y，可得y-2=x-y，即y=$\frac{1}{2}$x+1（0≤x≤6），畫(huà)出圖象即可．
（3）如圖③中，由CE=CF，推出OC平分∠MON，推出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段OC，因?yàn)閤=6，y=4，可得OC=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如圖①中，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，△ACB是等腰直角三角形，
∴四邊形OACB是正方形，
∴點(diǎn)C到ON的距離為2．

（2）如圖③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．

∵∠ACB=∠ECF=90°，CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴△CEA≌△CFB，
∴AE=CF，CE=CF，
∵∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，
∴四邊形OECF是矩形，∵CE=CF，
∴四邊形OECF是正方形，
∴CF=CE=OE=OF=y，
∵AE=y-2，F(xiàn)B=x-y，
∴y-2=x-y，
∴y=$\frac{1}{2}$x+1，可得函數(shù)圖象如圖②所示，


（3）如圖③中，∵CE=CF，
∴OC平分∠MON，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段OC，
∵x=6，y=4，
∴OC=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)圖象、一次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．