Question

8．已知Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，連接CE．
（1）發(fā)現(xiàn)問題
如圖①當(dāng)點D在邊BC上時．
①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD=CE，位置關(guān)系為BD⊥CE；
②求證：CE+CD=BC；
（2）嘗試探究
如圖②，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，說明理由；
（3）拓展延伸
如圖③，當(dāng)點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=6，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)條件AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關(guān)系；②判定△ABD≌△ACE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；
（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，進而得到CD=BC+BD=BC+CE，最后根據(jù)BC=6，CE=2，即可求得線段CD的長．

解答 解：（1）①如圖1，∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，即BD⊥CE；
故答案為：BD=CE，BD⊥CE；

②在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD；

（2）不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為CE=BC+CD．
理由：如圖2，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；

（3）如圖3，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE，
∵BC=6，CE=2，
∴CD=6+2=8．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．