Question

【題目】問(wèn)題提出

如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且，填空：當(dāng)點(diǎn)A位于______時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為______用含的式子表示．

問(wèn)題探究

點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且，如圖2所示，分別以為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接，找出圖中與BE相等的線段，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值．

問(wèn)題解決：

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

如圖4，在四邊形ABCD中， ，若對(duì)角線于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)角線AC的最大值．

Answer 1

【答案】 CB的延長(zhǎng)線上；

【解析】分析：

（1）由題意可知，當(dāng)點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的值最大，最大值為：AC=AB+BC=a+b；

（2）由已知條件易證△ABE≌△ADC，由此可得BE=DC，結(jié)合（1）中結(jié)論可知，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE最長(zhǎng)=CD最長(zhǎng)=BC+AB=9；

（3）①如下圖5，連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，則由已知易得AB=3，AN=AP=，結(jié)合（1）可知，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM最大=BN最大=AB+AN=；如圖6，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AN于點(diǎn)E，由△APN是等腰直角三角形，AP=2，即可求得OE和PE的長(zhǎng)，從而可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如下圖7，以BC為邊作等邊三角形△BCM，連接DM，由已知條件易證△ABC≌△DBM，從而可得AC=DM，由此可得當(dāng)DM的值最大時(shí)，AC的值就最大，由∠BDC=90°可知點(diǎn)D在以BC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，由圖可知當(dāng)D在BC上方，且DM⊥BC時(shí)，DM的值最大，最大值為：等腰直角△BDC斜邊BC上的高+等邊△BMC的高.

詳解：

（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為，

故答案為：CB的延長(zhǎng)線上， ；

，

理由：∵與是等邊三角形，

∴，

∴，

即，

在與中，

，

∴≌，

∴；

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值線段CD的最大值，

∴由知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為；

（3）①如圖5，連接BM，將繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接AN，則是等腰直角三角形，

∴，

∵的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值，

∵，

∴最大值為；

如圖6，過(guò)P作軸于E，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴

②如下圖7，以BC為邊作等邊三角形△BCM，連接DM，

∵，

∴

∵，

∴≌，

∴，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵定值， ，

∴點(diǎn)D在以BC為直徑的上運(yùn)動(dòng)，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC上方，DM⊥BC時(shí)，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜邊上的高+等邊△BCM的高，

∵BC=，

∴DM最大=，

∴AC最大=．