Question

2．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是拋物線的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）是否存在動(dòng)點(diǎn)D在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊，以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，利用A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得拋物線解析式；
（2）由B、C的坐標(biāo)可求得OB、OC的長，且可求得∠BOC=90°，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出PM和AM的長，當(dāng)△PMA和△BOC相似時(shí)可得到$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）AO為四邊形的一邊時(shí)，過E作ED∥AO，且DE=AO=2，則可求得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+2x；
（2）存在．理由如下：
∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴∠AOC=45°，OC=$\sqrt{2}$，
∵B（-3，-3），
∴∠BOA=45°，OB=3$\sqrt{2}$，
∴∠BOC=90°，
過P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，連接AP，如圖1，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x），
∵P點(diǎn)在第一象限，
∴PM=x²+2x，AM=AO+OM=x+2，
∵∠PMA=∠BOC=90°，
∴當(dāng)△PMA和△BOC相似時(shí)則有$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，
①當(dāng)$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$時(shí)，則有$\frac{{x}^{2}+2x}{3\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{\sqrt{2}}$，即x²-x-6=0，解得x=3或x=-2（舍去），
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，15）；
②當(dāng)$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$時(shí)，則有$\frac{{x}^{2}+2x}{\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{3\sqrt{2}}$，即3x²+5x-2=0，解得x=$\frac{1}{3}$或x=-2（舍去），
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
綜上可知存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（3，15）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
（3）存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（-3，3）．
當(dāng)以A、O、D、E為頂點(diǎn)的平行四邊形時(shí)，且AO為邊，
則有DE=AO=2，且DE∥AO，
∴D點(diǎn)只能在x軸上方，
過點(diǎn)E作DE∥x軸，交拋物線與點(diǎn)D，如圖2，

設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，
∵E點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，
∴DE=|x+1|=2，
解得x=1或x=-3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（-3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、拋物線的頂點(diǎn)烴、對(duì)稱軸、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及分類討論思想等．在（2）中求得∠BOC=90°是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在（3）中確定出D點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．