【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段OB于點F,Cy軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;

(2)求證:∠BEF=AOE;

(3)當EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;

(4)在(3)的條件下,當直線EFx軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點,直線PEx軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得EPF的面積是EDG面積的(2+1)倍.若存在,請直接寫出點P坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=-x2-x+2;(2)證明見解析;(3(-1, 1)(-, 2-);(4P(0, 2)P-1,2

【解析】

試題(1)首先求出點C的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

2)利用三角形外角性質(zhì),易證∠BEF=∠AOE

3)當△EOF為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論,注意不要漏解;

4)本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標,要點是將△EPF△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比.如圖所示,首先證明點EDF的中點,然后作x軸的平行線FN,則△EDG≌△EFN,從而將△EPF△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PENE;過點Px軸垂線,可依次求出線段PTPM的長度,從而求得點P的縱坐標;最后解一元二次方程,確定點P的坐標.

試題解析:(1) 如答圖∵A-2,0B0,2

∴OA="OB=2" ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2, 即C 0,2

拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點 則可得解得:

拋物線的表達式為y=-x2-x+2

2∵OA=OB ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°

∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE

3) 當△EOF為等腰三角形時,分三種情況討論

OE=OF時, ∠OFE=∠OEF=45°

△EOF中, ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°

∵∠AOB90°

則此時點E與點A重合, 不符合題意, 此種情況不成立.

如答圖, 當FE=FO時,

∠EOF=∠OEF=45°

△EOF中,∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° (2) 可知 ,∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×21 ∴ E(-11)

如答圖, 當EO=EF時, 過點EEH⊥y軸于點H △AOE△BEF中,

∠EAO=∠FBE, EO=EF, ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2

∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°

Rt△BEH中, ∵∠BEH=∠ABO=45° ∴EH=BH=BEcos45°=2×=

∴OH="OB-BH=2-"∴ E(-, 2-)

綜上所述, 當△EOF為等腰三角形時, 所求E點坐標為E(-1, 1)E(-, 2-)

4P(02)P -1, 2

考點: 二次函數(shù)綜合題.

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序號項目

1

2

3

4

5

6

筆試成績(分)

85

92

84

90

84

80

面試成績(分)

90

83

82

90

80

85

1)這6名選手筆試成績的中位數(shù)是________分,眾數(shù)是________分.

2)現(xiàn)得知1號選手的綜合成績?yōu)?/span>88分,求筆試成績和面試成績各占的百分比;

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