Question

17．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$時(shí)，△BPQ是直角三角形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位？
（3）當(dāng)∠OPQ+2∠OAB=180°時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，求得OA=8，OB=6，AB=10，再分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠BPQ=90°=∠O時(shí)，當(dāng)∠BQP=90°=∠O，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可；
（2）先過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，則QH∥AO，得到△BHQ∽△BOA，求得QH=8-$\frac{8}{5}$t，再根據(jù)△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位，列方程求解，得出t的值即可；
（3）先根據(jù)∠OPQ+∠BPQ=180°，∠OPQ+2∠OAB=180°，得出∠BPQ=2∠A，再過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，則∠BPG=∠A，進(jìn)而得出△PBG≌△PQG，得出BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，最后根據(jù)△BGP∽△BOA，列出比例式求得t的值即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（8，0），B（0，6），
即OA=8，OB=6，
∴Rt△AOB中，AB=10，
由題可得，BP=t，AQ=2t，BQ=10-2t，
如圖1，當(dāng)∠BPQ=90°=∠O時(shí)，PQ∥OA，
∴△BPQ∽△BOA，
∴$\frac{BP}{BO}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
如圖2，當(dāng)∠BQP=90°=∠O，∠B=∠B時(shí)，
△BQP∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{10-2t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
∴綜上所述，當(dāng)t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒時(shí)，△BPQ是直角三角形；

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，則QH∥AO，
∴△BHQ∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{QH}{AO}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{QH}{8}$，
解得QH=8-$\frac{8}{5}$t，
∴當(dāng)△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位時(shí)，$\frac{1}{2}$×BP×HQ=$\frac{24}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×t×（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{24}{5}$，
解得t=2或3，
∴t為2或3秒時(shí)，△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個(gè)平方單位；

（3）如圖4，∵∠OPQ+∠BPQ=180°，
∴當(dāng)∠OPQ+2∠OAB=180°時(shí)，∠BPQ=2∠A，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，則∠BPG=∠A，
∴∠QPG=∠BPG=∠A，
又∵∠BGP=∠QGP=90°，PG=PG，
∴△PBG≌△PQG，
∴BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，
∵∠PGB=∠O=90°，∠B=∠B，
∴△BGP∽△BOA，
∴$\frac{BG}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{5-t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{25}{8}$，
∴當(dāng)∠OPQ+2∠OAB=180°時(shí)，t的值為$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線畫出相應(yīng)的圖形進(jìn)行分類討論，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．