Question

【題目】正方形ABCD中，點(diǎn)P為直線(xiàn)AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DP，將DP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°得到EP，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線(xiàn)，交射線(xiàn)DC于M，交射線(xiàn)AB于N．

問(wèn)題出現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1，線(xiàn)段AD，AP，DM之間的數(shù)量關(guān)系為　 　；

題探究：（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，線(xiàn)段AD，AP，DM之間的數(shù)量關(guān)系為　 　；

②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段AD，AP，DM之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

問(wèn)題拓展：（3）在（1）（2）的條件下，若AP=，∠DEM=15°，則DM=　 　．

Answer 1

【答案】(1) DM=AD+AP ;(2) ①DM=AD﹣AP ; ②DM=AP﹣AD ;(3) 3﹣或﹣1．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ADP≌△PFN，進(jìn)而解答即可；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ADP≌△PFN，進(jìn)而解答即可；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ADP≌△PFN，進(jìn)而解答即可；

（3）分兩種情況利用勾股定理和三角函數(shù)解答即可．

（1）DM=AD+AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵將DP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°得到EP，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線(xiàn)，交射線(xiàn)DC于M，交射線(xiàn)AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP與△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；

（2）①DM=AD﹣AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵將DP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°得到EP，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線(xiàn)，交射線(xiàn)DC于M，交射線(xiàn)AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP與△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP；

②DM=AP﹣AD，理由如下：

∵∠DAP+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠DAP=∠PEN，

又∵∠A=∠PNE=90°，DP=PE，

∴△DAP≌△PEN，

∴AD=PN，

∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD；

（3）有兩種情況，如圖2，DM=3﹣，如圖3，DM=﹣1；

①如圖2：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD==3，

∴DM=AD﹣AP=3﹣；

②如圖3：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD=APtan30°==1，

∴DM=AP﹣AD=﹣1．

故答案為；DM=AD+AP；DM=AD﹣AP；3﹣或﹣1．