Question

17．在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．
（1）如圖，當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；
（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
②在旋轉(zhuǎn)中，當(dāng)點F與BC邊中點重合時，求四邊形AEFP的面積；
③直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長．

Answer 1

分析 （1）證明△ABP∽△DPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{CD}$=$\frac{PB}{PC}$，計算即可；
（2）①過點F作FG⊥AD于點G，證明△APE∽△GFP，得到$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=2，根據(jù)正切的定義解答即可；
②設(shè)AE=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式計算；
③根據(jù)線段EF的中點的起始位置和結(jié)束位置解答．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=$\sqrt{5}$，
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC，
∴$\frac{AP}{CD}$=$\frac{PB}{PC}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{PC}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
（2）①∠PEF的大小不變，
理由：如圖，過點F作FG⊥AD于點G，
∴四邊形ABFG是矩形，
∴GF=AB=2，
∵∠AEP+∠APE=90°，∠GPF+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠GPF，又∠A=∠PGF=90°，
∴△APE∽△GFP，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=2，
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF$\frac{PF}{PE}$=2，即tan∠PEF的值不變，
∴∠PEF的大小不變；
②設(shè)AE=x，則EB=2-x，
在Rt△APE中，PE=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
根據(jù)①問結(jié)論，PF=2$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴EF=$\sqrt{5+5{x}^{2}}$，
又∵PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4，
∴BC=AD=5，
∵BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴（$\sqrt{5+5{x}^{2}}$）²-（2-x）²=（$\frac{5}{2}$）²，
整理得16x²+16x-21=0，
解得，x₁=$\frac{3}{4}$，x₂=-$\frac{7}{4}$（舍去），
則AE=$\frac{3}{4}$，
∴四邊形AEFP的面積=梯形ABFP的面積-△EBF的面積=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{5}{2}$）×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{31}{16}$；
③線段EF的中點所經(jīng)過的路線長為$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．