【題目】如圖,ABC是等邊三角形,AB=4cm,CDAB于點D,動點P從點A出發(fā),沿AC以2cm/s的速度向終點C運動,當(dāng)點P出發(fā)后,過點P作PQBC交折線AD﹣DC于點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR,設(shè)四邊形APRQ與ACD重疊部分圖形的面積為S(cm2),點P運動的時間為t(s).

(1)當(dāng)點Q在線段AD上時,用含t的代數(shù)式表示QR的長;

(2)求點R運動的路程長;

(3)當(dāng)點Q在線段AD上時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值.

【答案】(1)證明見解析(2)2+2(3)S=S菱形APRQ2t2;S=﹣t2+6t﹣2(4)t=或t=

【解析】

試題分析:(1)易證APQ是等邊三角形,即可得到QR=PQ=AP=2t;

(2)過點A作AGBC于點G,如圖②,易得點R運動的路程長是AG+CG,只需求出AG、CG就可解決問題;

(3)四邊形APRQ與ACD重疊部分圖形可能是菱形,也可能是五邊形,故需分情況討論,然后運用割補法就可解決問題;

(4)由于直角頂點不確定,故需分情況討論,只需分QRB=90°和RQB=90°兩種情況討論,即可解決問題.

試題解析:(1)如圖①,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=B=60°.

PQBC,

∴∠APQ=ACB=60°,AQP=B=60°,

∴△APQ是等邊三角形.

PQ=AP=2t.

∵△PQR是等邊三角形,

QR=PQ=2t;

(2)過點A作AGBC于點G,如圖②,

則點R運動的路程長是AG+CG.

在RtAGC中,AGC=90°,sin60°=,cos60°=,AC=4,

AG=2,CG=2.

點R運動的路程長2+2;

(3)①當(dāng)0t時,如圖③,

S=S菱形APRQ=2×SAPQ=2××(2t)2=2t2;

②當(dāng)t1時,如圖④

PE=PCsinPCE=(4﹣2t)×=2﹣t,

ER=PR﹣PE=2t﹣(2﹣t)=3t﹣2,

EF=ERtanR=(3t﹣2)

S=S菱形APRQ﹣SREF

=2t2(3t﹣2)2=﹣t2+6t﹣2

4)t=或t=

提示:①當(dāng)QRB=90°時,如圖⑤,

cosRQB=,

QB=2QR=2QA,

AB=3QA=6t=4,

t=;

②當(dāng)RQB=90°時,如圖⑥,

同理可得BC=3RC=3PC=3(4﹣2t)=4,

t=

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測試項目

測試成績/分

教學(xué)能力

85

73

73

科研能力

70

71

65

組織能力

64

72

84

(1)如果根據(jù)三項測試的平均成績,誰將被錄用,說明理由;

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(1)此次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)m=  名,其中選擇“書法”的學(xué)生占抽樣人數(shù)的百分比n=  ;
(2)若該校有3000名學(xué)生,請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該校對“書法”最感興趣的學(xué)生人數(shù).

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(1)如圖1,分別以ABC的三條邊為邊長向外作正方形,其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3,則有____________;

(2)如圖2,分別以ABC的三條邊為直徑向外作半圓,其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3,請問S1+S2S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓,如圖3所示,其面積由小到大分別記作S1、S2、S3,根據(jù)(2)中的探索,直接回答S1+S2S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系;

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