Question

【題目】某企業(yè)對(duì)一種設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，并在一定時(shí)間內(nèi)進(jìn)行生產(chǎn)營(yíng)銷，設(shè)改造設(shè)備的臺(tái)數(shù)為x，現(xiàn)有甲、乙兩種改造方案.

甲方案：升級(jí)后每臺(tái)設(shè)備的生產(chǎn)營(yíng)銷利潤(rùn)為4000元，但改造支出費(fèi)用由材料費(fèi)和施工費(fèi)以及其他費(fèi)用三部分組成，其中材料費(fèi)與x的平方成正比，施工費(fèi)與x成正比，其他費(fèi)用為2500元，（利潤(rùn)=生產(chǎn)營(yíng)銷利潤(rùn)-改造支出費(fèi)用）.設(shè)甲方案的利潤(rùn)為（元），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

改造設(shè)備臺(tái)數(shù)x（臺(tái)）	20	40
利潤(rùn)（元）	9500	5500

乙方案：升級(jí)后每臺(tái)設(shè)備的生產(chǎn)營(yíng)銷利潤(rùn)為3500元，但改造支出費(fèi)用與x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：（a為常數(shù)，），且在使用過程中一共還需支出維護(hù)費(fèi)用，（利潤(rùn)=生產(chǎn)營(yíng)銷利潤(rùn)-改造支出費(fèi)用-維護(hù)費(fèi)用）.設(shè)乙方案的利潤(rùn)為（元）.

（1）分別求出，與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若，的最大值相等，求a的值；

（3）如果要將30臺(tái)設(shè)備升級(jí)改造，請(qǐng)你幫助決策，該企業(yè)應(yīng)選哪種方案，所獲得的利潤(rùn)較大.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）；（3）①時(shí)，選擇甲方案獲得的利潤(rùn)較大；②當(dāng)，選甲方案或乙方案獲得的利潤(rùn)相同；③時(shí)，選擇乙方案獲得的利潤(rùn)較大.

【解析】

（1）設(shè)材料費(fèi)，施工費(fèi)，根據(jù)題意得到與x的函數(shù)關(guān)系式，將x及的對(duì)應(yīng)值代入求出m、n即可；根據(jù)題意即可列得與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將（1）的化為頂點(diǎn)式解析式即可得到的最大值，由，的最大值相等，即可求出答案；

（3）將x=30代入、，再分三種情況求解即可.

解：（1）設(shè)材料費(fèi)，施工費(fèi),

由題意，得

∵時(shí)，；時(shí)，，

∴，

解得，

∴.

；

（2）∵，∴的最大值為10000.

∵，的最大值相等，

∴，解得，.

∵，

∴；

（3）當(dāng)時(shí)，；；

①當(dāng)時(shí)，解得，即時(shí)，選擇甲方案獲得的利潤(rùn)較大；

②當(dāng)時(shí)，解得，選甲方案或乙方案獲得的利潤(rùn)相同；

③當(dāng)時(shí)，解得，即時(shí)，選擇乙方案獲得的利潤(rùn)較大.