Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-8x-k²=0（k為常數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)x₁、x₂為方程的兩個實數(shù)根，且x₁-2x₂=11，試求方程的兩個實數(shù)根和k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明判別式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到兩根的和是8，結(jié)合x₁-2x₂=11即可求得方程的兩個實根，進而可求k的值．

解答：（1）證明：∵b²-4ac=（-8）²-4×1×（-k²）=64+4k²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：∵x₁+x₂=8，（4分）
又∵x₁-2x₂=11，
解方程組

x1+x2=8 x1-2x2=11

，
解得

x1=9 x2=-1

，
將x₂=-1代入原方程得：（-1）²-8×（-1）-k²=0，
解得k=±3．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，與x₁-2x₂=11聯(lián)立即可把求方程的解的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題．