Question

17．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動(dòng)，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合．
（1）求證：BE=CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在BC，CD上滑動(dòng)時(shí)，四邊形AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值，如果變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC得出四邊形AECF的面積不會(huì)發(fā)生變化；再作AH⊥BC于點(diǎn)H．求出AH的值，根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH，代入計(jì)算即可求解．

解答 （1）證明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠B=60°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC．
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：
∵△BAE≌△CAF，
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，
∵△ABC的面積是定值，
∴四邊形AECF的面積不會(huì)發(fā)生變化．
如圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H．
∵AB=AC=BC=4，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=2，
AH=AB•sin∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，難度適中．