Question

15．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形；　　　　　　
（2）如圖1，求AF的長(zhǎng)；
（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒1cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①問在運(yùn)動(dòng)的過程中，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度，若不可能，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由判定定理“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”可證，
（2）由（1）得，設(shè)AF=FC=CE=AE=x，BF=y，由圖形中存在的等量關(guān)系及勾股定理求證，
（3）①若以點(diǎn)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)四邊形是矩形，則點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D 重合，由運(yùn)動(dòng)過程中時(shí)間相等求解，
        ②則利用平行四邊形的性質(zhì)可以求解．

解答 解：（1）∵AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O，
∴OA=OC，
 又∵矩形ABCD中，AD∥BC．
∴∠OEA=∠FCO，
∴在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEA=∠FCO}&{\;}\\{∠AOC=∠COF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$

∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
又∵AC⊥EF于點(diǎn)O，
∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．
  （2）由（1）可知，四邊形AFCE是菱形，設(shè)AF=FC=CE=AE=x，BF=y，
由題意，有  $\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=16}\end{array}\right.$  解得  $\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$
即：所求AF的長(zhǎng)為5．
（3）①有可能是矩形   理由如下：
當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)移動(dòng)到點(diǎn)B、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，四邊形APCQ是矩形，
此時(shí)，二者的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則，
t=（5+3）÷1=8（秒），
而點(diǎn)Q的速度為：4÷8=0.5（cm/s），
∴所求時(shí)間為8秒，點(diǎn)Q的速度為0.5cm/s，
 ②
        
由題意可知，RT△ABF≌RT△CDE，且AB=CD=4，BF=DE=3，AF=CE=5，
如圖：當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，有AP∥CQ，且AP=CQ，
而 AP=t，CQ=（3+4+5）-0.8t，則
t=12-0.8t，t=12，
即：當(dāng)以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為12，

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，考查了運(yùn)動(dòng)問題中的相等關(guān)系、菱形的判定及性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理及方程思想．解本題的關(guān)鍵是要熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)及判定．