Question

15．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，…，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是3024π．

Answer 1

分析 首先求得每一次轉(zhuǎn)動的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．

解答 解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
轉(zhuǎn)動一次A的路線長是：$\frac{90π×4}{180}$=2π，
轉(zhuǎn)動第二次的路線長是：$\frac{90π×5}{180}$=$\frac{5}{2}$π，
轉(zhuǎn)動第三次的路線長是：$\frac{90π×3}{180}$=$\frac{3}{2}$π，
轉(zhuǎn)動第四次的路線長是：0，
以此類推，每四次循環(huán)，
故頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：$\frac{5}{2}π$+$\frac{3}{2}$π+2π=6π，
2015÷4=503余3，
頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動四次經(jīng)過的路線長為：6π×504=3024π．
故答案為：3024π．

點(diǎn)評 本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運(yùn)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．