Question

4．直線與四邊形的關(guān)系我們給出如下定義：如圖1，當(dāng)一條直線與一個四邊形沒有公共點時，我們稱這條直線和這個四邊形相離．如圖2，當(dāng)一條直線與一個四邊形有唯一公共點時，我們稱這條直線和這個四邊形相切．如圖3，當(dāng)一條直線與一個四邊形有兩個公共點時，我們稱這條直線和這個四邊形相交．
（1）如圖4，矩形AOBC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸上，點B在y軸上，OA=3，OB=2，直線y=x+2與矩形AOBC的關(guān)系為相切．
（2）在（1）的條件下，直線y=x+2經(jīng)過平移得到直線y=x+b，
當(dāng)直線y=x+b，與矩形AOBC相離時，b的取值范圍是b＜-3或b＞2  ；
當(dāng)直線y=x+b，與矩形AOBC相交時，b的取值范圍是-3＜b＜2 ．
（3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），當(dāng)直線y=x+2與四邊形PQMN相切且線段QN最小時，利用圖5求直線QN的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由直線y=x+2過點B且BC平行x軸，結(jié)合直線與四邊形的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）依照題意畫出圖形．①根據(jù)圖形求出相切時的b值，利用“比大的大，比小的小”即可得出結(jié)論；②根據(jù)相切時的b的值，取二者之間的數(shù)即是相交；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)（矩形的對角線相等）以及點到直線垂線段最短，確定點P、Q、N的位置，再通過角的計算可得出當(dāng)QN最小時矩形PQMN是正方形，由正方形的鄰邊相等可求出m值，將其代入點Q、N的坐標(biāo)中，利用待定系數(shù)法即可求出直線QN的函數(shù)表達(dá)式．

解答 解：（1）∵OB=2，
∴點B（0，2），
令y=x+2中x=0，則y=2，
∴直線y=x+2過點B，
又∵BC平行x軸，
∴直線y=x+2與矩形AOBC只有一個交點，
∴直線y=x+2與矩形AOBC相切．
故答案為：相切．
（2）依照題意畫出圖形，如圖6所示．
①當(dāng)y=x+b過點B時，b=2；
當(dāng)y=x+b過點A時，有0=3+b，解得：b=-3．
∴當(dāng)直線y=x+b與矩形AOBC相離時，b＜-3或b＞2．
故答案為：b＜-3或b＞2．
②由①可知：當(dāng)直線y=x+b與矩形AOBC相交時，-3＜b＜2．
故答案為：-3＜b＜2．
（3）∵P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），
∴PQ∥MN，PN∥QM，PN⊥x軸，
∴四邊形PQMN是矩形，
∴PM=QN．
令y=x+2中x=3，則y=5，
∵5＞1，
∴點M在直線y=x+2的下方，
∵直線y=x+2與矩形PQMN相切，
∴y=x+2必過P點．
∵線段QN最短，QN=PM，
∴只需線段PM最短即可．
根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，得MP垂直直線時最短，如圖7所示．
∵y=x+2，
∴E（-2，0），H（0，2），
∴OE=OH，
∴∠OEH=45°．
∵FN∥x軸，
∴∠MFP=45°，
當(dāng)∠NMP=45°時，∠MPF=90°，MP⊥EH，此時MP最短，
∵∠NMP=45°，∠PNM=90°，
∴∠NPM=45°，
∴PN=MN，
∴矩形PQMN是正方形時線段QN最短．
∵PN=m+1，MN=3-m，
∴m+1=3-m，
∴m=1，
∴Q（3，3），N（1，1）．
設(shè)直線QN的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=3k+c}\\{1=k+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴直線QN的函數(shù)表達(dá)式為y=x．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點B在直線上得出相切；（2）求出相切時的b值；（3）找出點Q、N的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合矩形與正方形的性質(zhì)找出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．