Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為O，點(diǎn)A（0，3），B（2，3），C（2，-3），D（0，-3）．點(diǎn)P，Q是長(zhǎng)方形ABCD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC交x軸于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿O→A→B→M的路線(xiàn)做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q也從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿O→D→C→M的路線(xiàn)做勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形OPMQ的面積為S．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；
（2）若S＜5時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)三角形OPM的面積為S₁，三角形OQM的面積為S₂，則S=S₁+S₂．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，可得點(diǎn)P（0，2），Q（1，-3），過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E．根據(jù)三角形的面積公式分別求出S₁，S₂，進(jìn)而得出S的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2t．分五種情況進(jìn)行討論：①0＜t≤1.5；②1.5＜t≤2.5；③2.5＜t≤3； ④3＜t＜4；⑤t=4．針對(duì)每一種情況，首先確定出對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)點(diǎn)P，Q的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：設(shè)三角形OPM的面積為S₁，三角形OQM的面積為S₂，則S=S₁+S₂．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P（0，2），Q（1，-3），過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵S₁=$\frac{1}{2}$OP•OM=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
S₂=$\frac{1}{2}$QE•OM=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴S=S₁+S₂=5；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2t．
①當(dāng)0＜t≤1.5時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段OD上，
此時(shí)四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去．
②當(dāng)1.5＜t≤2.5時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC上．
S=$\frac{1}{2}$×2t+$\frac{1}{2}$×2×3=t+3，
∵S＜5，
∴t+3＜5，解得t＜2．
此時(shí)1.5＜t＜2．
 ③當(dāng)2.5＜t≤3時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CM上．
S=$\frac{1}{2}$×2t+$\frac{1}{2}$×2（8-2t）=8-t，
∵S＜5，
∴8-t＜5，解得t＞3．
 ④當(dāng)3＜t＜4時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CM上．
S=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2（8-2t）=11-2t，
∵S＜5，
∴11-2t＜5，解得t＞3．
此時(shí)3＜t＜4．
 ⑤當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q與M重合，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．
此時(shí)四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去．
綜上所述，當(dāng)S＜5時(shí)，1.5＜t＜2或3＜t＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形、四邊形的面積，確定點(diǎn)P，Q的位置是解決第（1）問(wèn)的關(guān)鍵；正確進(jìn)行分類(lèi)，考慮到所有可能的情況是解決第（2）問(wèn)的關(guān)鍵．