Question

9．如圖，為了測出旗桿AB的高度，在旗桿前的平地上選擇一點C，測得旗桿頂部A的仰角為45°，在C、B之間選擇一點D（C、D、B三點共線），測得旗桿頂部A的仰角為75°，且CD=8m
（1）求點D到CA的距離；
（2）求旗桿AB的高．
（注：結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）作DE⊥AC于點E，根據(jù)sinC=$\frac{DE}{CD}$即可得DE；
（2）由∠C=45°可得CE，由tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$可得AE，即可得AC的長，再在Rt△ABC中，根據(jù)sinC=$\frac{AB}{AC}$即可得AB的長．

解答 解：（1）如圖，作DE⊥AC于點E，

再Rt△CDE中，sinC=$\frac{DE}{CD}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{DE}{8}$，
∴DE=4$\sqrt{2}$，
答：點D到CA的距離為4$\sqrt{2}$；

（2）在Rt△CDE中，∠C=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CE=DE=4$\sqrt{2}$，
∵∠ADB=75°，∠C=45°，
∴∠EAD=∠ADB-∠C=30°，
∴在Rt△ADE中，tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{AE}$，
∴AE=4$\sqrt{6}$，
∴AC=AE+CE=4$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，sinC=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AB}{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}}$，
∴AB=4+4$\sqrt{3}$，
答：旗桿AB的高為（4+4$\sqrt{3}$）m．

點評 本題考查了解直角三角形，用到的知識點是仰角的定義、特殊角的三角函數(shù)值，要能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．