Question

9．如圖，已知直線l：y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（6，0），點(diǎn)C在直線l上，當(dāng)△ABC是直角三角形時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

Answer 1

分析 當(dāng)A或B為直角頂點(diǎn)時，則可得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入直線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，可表示出AC、BC和AB的長，利用勾股定理可得到關(guān)于C點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
當(dāng)A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
把x=1代入直線l解析式可得y=$\frac{5}{12}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{3}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{5}{3}$）；
當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，同理可求得C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，$\frac{15}{4}$）；
當(dāng)C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，
∵點(diǎn)C在直線l上，
∴可設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$），
∴AC²=（1-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²，BC²=（6-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²，且AB=6-1=5，
∵△ABC為直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（1-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²+（6-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²=25，整理可得2（$\frac{13}{6}$x-$\frac{11}{2}$）²=0，
解得x=$\frac{33}{13}$，代入可得y=$\frac{30}{13}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$），
綜上可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$），
故答案為：（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由△ABC為直角三角形可知有一個角為直角，從而得到相關(guān)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．