Question

1．（1）如圖①，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA=6，OB=8，OC=10，將線段BO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，連結(jié)線段OO'，AO'，試判斷△AOO'的形狀．
（2）點D是以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，且BD=1，CD=2，AD=3．
（Ⅰ）求∠BDC的度數(shù)；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′，∠OBO′=60°，則△OBO′為等邊三角形，所以O(shè)O′=OB=8，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以∠ABC=60°，BA=BC，接著利用旋轉(zhuǎn)的定義可把△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BO′A，于是得到AO′=CO=10，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△AOO'為直角三角形，∠AOO′=90°；
（2）（Ⅰ）將△CBD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD′，如圖②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCD′=90°，∠CD′A=∠CDB，CD′=CD=2，AD′=BD=1，則可判斷△CDD′為等腰直角三角形，所以∠CD′D=45°，DD′=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ADD'為直角三角形，∠AD′D=90°；則∠AD′C=135°，所以∠BDC=135°；
（Ⅱ）利用△CDD′為等腰直角三角形得到∠CDD′=45°，再判斷點B、D、D′共線得到△BD′A為直角三角形，然后利用△ABC的面積=S_△CDD′+S_△BD′A進行計算．

解答 解：（1）∵線段BO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，
∴BO=BO′，∠OBO′=60°，
∴△OBO′為等邊三角形，
∴OO′=OB=8，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，BA=BC，
∴△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BO′A，
∴AO′=CO=10，
在△AOO′中，∵AO′=10，AO=6，OO′=8，
而6²+8²=10²，
∴OA²+OO′²=AO′²，
∴△AOO'為直角三角形，∠AOO′=90°；
（2）（Ⅰ）將△CBD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD′，如圖②，
∴∠DCD′=90°，∠CD′A=∠CDB，CD′=CD=2，AD′=BD=1，
∴△CDD′為等腰直角三角形，
∴∠CD′D=45°，DD′=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
在△ADD′中，AD=3，AD′=1，DD′=2$\sqrt{2}$，
而1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴D′A²+AD²=DD′²，
∴△ADD'為直角三角形，∠AD′D=90°；
∴∠AD′C=135°，
∴∠BDC=135°；
（Ⅱ）∵△CDD′為等腰直角三角形，
∴∠CDD′=45°，
而∠BDC=135°；
∴∠CDD′+∠BDC=180°，
∴點B、D、D′共線，
∴△BD′A為直角三角形，
∴△ABC的面積=S_△CDD′+S_△BD′A
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×1×（1+2$\sqrt{2}$）
=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角直角三角形的判定與性質(zhì)．