Question

14．已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC．
（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD（點(diǎn)C，F(xiàn)在直線AB的兩側(cè)），連接DC，DF，CF．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷△CDF的形狀并證明；
（2）如圖2，E是直線BC上的一點(diǎn)，直線AE，CD相交于點(diǎn)P，且∠APD=45°．求證：BD=CE．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)條件畫出圖形即可．
②結(jié)論：△CDF是等腰直角三角形．只要證明△FAD≌△DBC即可解決問題．
（2）如圖2中，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DF、CF． 先證明AF=BD，再證明四邊形AFCE是平行四邊形即可解決問題．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

②結(jié)論：△CDF是等腰直角三角形．
理由：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠CBD}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△DBC，
∴FD=DC．∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）如圖2中，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DF、CF． 

∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠CBD}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△DBC，
∴FD=DC，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD=∠APD=45°，
∴FC∥AE，
∵∠ABC=90°，AF⊥AB，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE，
∴BD=CE．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形以及特殊四邊形解決問題，屬于中考�？碱}型．≌