Question

6．在銳角△ABC中，AB=6，BC=11，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA上時，∠CC₁A₁=60°；
（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為24，求△CBC₁的面積；
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是P₁，求在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EP₁長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠A₁C₁B=30°，再由等邊對等角得∠BC₁C=30°，則∠CC₁A₁=60°；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁得比例式，證明△ABA₁∽△CBC₁，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出△CBC₁的面積；
（3）作輔助線，當點P在D處時BP最小，則BP₁最小，EP₁最小；當點P在點C處時，BP最大，則BP₁最大，EP₁最大，代入計算．

解答 解：（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：∠A₁C₁B=∠C=30°，BC=BC₁，
∴∠C=∠BC₁C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°，
故答案為：60°；
（2）如圖2，∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{B{A}_{1}}{B{C}_{1}}$，
∵∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴$\frac{{S}_{△AB{A}_{1}}}{{S}_{△CB{C}_{1}}}$=$（\frac{AB}{AC}）^{2}$=$（\frac{6}{11}）^{2}$=$\frac{36}{121}$，
∵${S}_{△AB{A}_{1}}$=24，
∴${S}_{△CB{C}_{1}}$=$\frac{242}{3}$；
（3）如圖4，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=5.5，
以B為圓心，BD為半徑畫圓交AB于P₁′，BP₁有最小值BP₁′．
∴EP₁的最小值為5.5-3=2.5，
以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于P₁″，BP₁有最大值BP₁″．
此時EP₁的最大值為11+3=14，
∴線段EP₁的最大值與最小值的差為14-2.5=11.5．

點評 本題是三角形旋轉(zhuǎn)的綜合題，考查了三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等；考查了全等三角形和相似三角形的對應邊的關(guān)系，本題利用兩三角形全等的對應邊相等，列比例式證明另外兩三角形相似，這一證明思路值得借鑒．