Question

9．定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．
（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM=2，MN=4，BN=2$\sqrt{3}$，則點M、N是線段AB的勾股分割點；（填“是”或“不是”）
（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，若AB=12，AM=5，求BN的長；
（3）如圖2，P、Q是等腰Rt△ABC斜邊AB的勾股分割點，PQ＞AP，PQ＞BQ，求∠PCQ的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．
（2）設BN=x，則MN=12-AM-BN=7-x，分三種情形①當AM為最大線段時，依題意AM²=MN²+BN²，②當MN為最大線段時，依題意MN²=AM²+NB²，③當BN為最大線段時，依題意BN²=AM²+MN²，分別列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中，把△CBQ繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACR，連結(jié)RP，只要證明△PCR≌△PCQ得到

解答 解：（1）是．
理由：∵AM²+BN²=2²+（2$\sqrt{3}$）²=16，MN²=4²=16，
∴AM²+NB²=MN²，
∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形．
故答案為是．

（2）設BN=x，則MN=12-AM-BN=7-x，
①當AM為最大線段時，依題意AM²=MN²+BN²，
即x²+（7-x）²=25，解得x=3或4，
②當MN為最大線段時，依題意MN²=AM²+NB²，
即（7-x）²=x²+25，解得x=$\frac{12}{7}$，
③當BN為最大線段時，依題意BN²=AM²+MN²．
即x²=25+（7-x）²，解得x=$\frac{37}{7}$，
綜上所述BN的長為3或4或$\frac{12}{7}$或$\frac{37}{7}$．
（3）如圖2中，把△CBQ繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACR，連結(jié)RP．

則∠CAR=∠CBQ=45°，
∴∠RAP=90°，
∴AP²+AR²=PR²，
∵AR=BQ，
∴AP²+BQ²=PR²，
∵P、Q是AB的勾股分割點，
∴AP²+BQ²=PQ²，
∴PR=PQ，
在△PCR和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CR=CQ}\\{PR=PQ}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PCR≌△PCQ，
∴∠PCQ=∠PCR，
∵∠PCQ+∠PCR=90°，
∴∠PCQ=45°．

點評 本題參考三角形綜合題、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論，注意不能漏解，學會利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．