Question

10．如圖，⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，弦CG=CD，且交半徑OB于點(diǎn)F，射線DG交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若OE=$\frac{4}{3}$，OH=6，則CD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 連結(jié)DO，CO，由同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系有∠CGD=$\frac{1}{2}$∠COD，而∠AOD=$\frac{1}{2}$∠COD，于是得到∠CGD=∠AOD．由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDG=∠CGD，于是得到∠AOD=∠CDG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EO}{ED}$=$\frac{ED}{EH}$，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論．

解答 解：連結(jié)DO，CO，
∵∠CGD=$\frac{1}{2}$COD，而∠AOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CGD=∠AOD，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴∠AOD=∠CDG．
在Rt△EOD和Rt△EDH中，
∵∠EOD=∠EDH，∠DEO=∠DEH=90°，
∴△EOD∽△EDH，
∴$\frac{EO}{ED}$=$\frac{ED}{EH}$，
∴ED²=EO•EH=$\frac{4}{3}$×（$\frac{4}{3}$+6）=$\frac{88}{9}$，
∴ED=$\sqrt{\frac{88}{9}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{22}$，
∴CD=2ED=$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，垂徑定理，正確的找出輔助線是解題的關(guān)鍵．