Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P（x，0）作x軸的垂線分別交拋物線y=x²+2與直線y=-$\frac{1}{2}$x于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為對(duì)角線作正方形ADBC，已知點(diǎn)Q（a，b）為該拋物線上的點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出AB的長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出AB的最小值；
（2）若x=1，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC邊上（點(diǎn)A除外）時(shí)，求a的值．
（3）若a=-1時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC的內(nèi)部（包括邊界）時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥x軸，表示出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的函數(shù)關(guān)系式，最后確定出它的最小值；
（2）先求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得C、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，與拋物線聯(lián)立方程，解方程即可求得Q的坐標(biāo)，從而求得a；
（3）分兩種情況：①當(dāng)P在y軸的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意列出x+1=x²+2-3，x+1=-$\frac{1}{2}$x+3；
②當(dāng)P在y軸的左側(cè)時(shí)，則-x-1=x²+2-3，-x-1=-$\frac{1}{2}$x+3；解方程即可求得．

解答 解：（1）∵過(guò)點(diǎn)P（x，0）作x軸的垂線分別交拋物線y=x²+2與直線y=-$\frac{1}{2}$x于A，B兩點(diǎn)，
∴A（x，x²+2），B（x，-$\frac{1}{2}$x），
∴AB=x²+2-（-$\frac{1}{2}$x）=x²+2+$\frac{1}{2}$x=（x+$\frac{1}{4}$）2+$\frac{31}{16}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{4}$時(shí)，AB的最小值為$\frac{31}{16}$．
（2）若x=1，則P（1，0），
∵過(guò)點(diǎn)P（1，0）作x軸的垂線分別交拋物線y=x²+2與直線y=-$\frac{1}{2}$x于A，B兩點(diǎn)，
∴A（1，3），B（1，-$\frac{1}{2}$），
∴AB=$\frac{7}{2}$，
∴AB的一半為$\frac{7}{4}$，
∵以線段AB為對(duì)角線作正方形ADBC，
∴C，D的縱坐標(biāo)為3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1-$\frac{7}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴C（-$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$），
∵A（1，3），
∴直線AC的解析式為y=x+2，
∴與拋物線y=x²+2聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（0，2），
∵點(diǎn)Q（a，b）為該拋物線上的點(diǎn)．
∴a=0．
（3）若a=-1，則Q的坐標(biāo)為（-1，3），
①當(dāng)P在y軸的右側(cè)時(shí)，
∴x+1=x²+2-3，解得x₁=2，x₂=0（舍去），
-x+2=-$\frac{1}{2}$x，解得x=4，
∴2≤x≤4；
②當(dāng)P在y軸的左側(cè)時(shí)，
則-x-1=x²+2-3，解得x=-1，
-x-1=-$\frac{1}{2}$x+3，解得x=-$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{8}{3}$≤x≤-1；
綜上，x的取值范圍是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式的方法，二次函數(shù)的解析式及極值的確定方法，根據(jù)題意列出方程是本題的關(guān)鍵．