Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過定點(diǎn)A．

（1）直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線y=t (t<6)與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C 的左邊），過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，是否存在t的值，使得對于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立，若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖，當(dāng)m=1時，直線y=2x交對稱軸于點(diǎn)E，在直線OE的右側(cè)作∠EOP交拋物線于點(diǎn)P，使得tan∠EOP=，已知x軸上有一個點(diǎn)M(t，0)， EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-2，6)；(2)存在，；(3)存在，

【解析】

(1)將解析式變形，得到m的系數(shù)為0，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為，由方程組得：，得到，，根據(jù)題意證得△ADC∽△BDA，得，即，即可求得答案；

(3)先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用tan∠EOP=，求得，從而依次求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)、直線OP的解析式、點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)E關(guān)于軸的對稱點(diǎn)F，利用軸對稱的性質(zhì)找到點(diǎn)M，求得直線FP的解析式即可求解．

(1)∵拋物線，

∴當(dāng)時，無論為何值，拋物線經(jīng)過定點(diǎn)A，
∴，，
∴定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)；
(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，

由方程組得：，

∴，，

∵∠DAC=∠ABD，∠ADC=∠BDA，

∴△ADC∽△BDA，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

整理得：，

解得：(舍去)，

∴當(dāng)t時，使得對于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立；

(3)當(dāng)時，拋物線的解析式為，對稱軸為直線，

設(shè)對稱軸交OP于G，交軸于H，如圖：

∵直線交對稱軸于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，

∴OH=2，EH=4，

，

∵，

∴，

∴，

設(shè)GH=，則，

∵，即，

解得：，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線OP的解析式為：，

把點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)代入得：，

∴直線OP的解析式為：，

解方程組得：或，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

作點(diǎn)E關(guān)于軸的對稱點(diǎn)F，連接PF交軸于點(diǎn)M，此時EM+PM取得最小值，

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線FP的解析式為：，

把點(diǎn)F、點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

∴直線FP的解析式為：，

令，則，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，

∴當(dāng)時，EM+PM存在最小值．