Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動：同時，點Q從點C出發(fā)沿CB-BA運動，點Q在CB上的速度為每秒2個單位長度，在BA上的速度為每秒$\sqrt{2}$個單位長度，當點P到達終點A時，點Q隨之停止運動．以CP、CQ為鄰邊作?CPMQ，設(shè)?CPMQ與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），點P的運動時間為x（秒）．
（1）當點M落在AB上時，求x的值．
（2）當點Q在邊CB上運動時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在P、Q兩點整個運動過程中，當?CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形時，求x的取值范圍．
（4）以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時，直接寫出CP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動點的時間和速度得：CP=x，CQ=2x，因為四邊形CPMQ是平行四邊形，得CP=MQ=BQ，代入列式求出x的值；
（2）分兩種情況：①當0＜x≤$\frac{4}{3}$時，如圖2，?CPMQ與△ABC重疊部分圖形是?CPMQ，利用矩形面積公式代入計算；②當$\frac{4}{3}$＜x≤2時，如圖3，?CPMQ與△ABC重疊部分圖形是五邊形CQNHP，利用差求面積；
（3）除了了（2）中的情況外，還有③當2≤x＜4時，如圖4，重疊部分是四邊形，④當x=4時，如圖5，重疊部分是三角形，寫出結(jié)論；
（4）分為①當0＜x≤2和當2＜x≤4時進行討論，一共存在四種情況，畫出圖形就可以求出x的值，即PC的長．

解答 解：（1）當點M落在AB上時，如圖1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B=45°，
∵四邊形CPMQ是平行四邊形，
∴CP∥MQ，CP=MQ=x，
∴∠BQM=∠C=90°，
∴∠QMB=∠B=45°，
∴BQ=MQ，
∴4-2x=x，
∴x=$\frac{4}{3}$；
（2）①當0＜x≤$\frac{4}{3}$時，如圖2，?CPMQ與△ABC重疊部分圖形是
?CPMQ，
∵CQ=$\sqrt{2}$x，PC=x，
∴y=S_?CPMQ=2x•x=2x²，
②當$\frac{4}{3}$＜x≤2時，如圖3，
由題意有，CQ=2x，QM=PC=x，∠B=45°，∠M=90°，
∴QN=BQ=4-2x，
∵BN=$\sqrt{2}$BQ=$\sqrt{2}$（4-2x）=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$x，
∵QM=x，
∴MN=QM-QN=3x-4，
∴S_△MNH=$\frac{1}{2}$MN²=$\frac{1}{2}$（3x-4）²，
∴y=S_矩形QCPM-S_△MNH
=2x²-$\frac{1}{2}$（9x²-24x+16）
=-$\frac{5}{2}$x²+12x-8，
（3）①當0＜x≤$\frac{4}{3}$時，如圖1，2，重疊部分是四邊形，
②當$\frac{4}{3}$＜x＜2時，如圖3，重疊部分是五邊形，
③當2≤x＜4時，如圖4，重疊部分是四邊形，
④當x=4時，如圖5，重疊部分是三角形，
∴當$\frac{4}{3}$＜x＜2時和x=4時，當?CPMQ與△ABC重疊部分圖形不是四邊形；
（4）①當0＜x≤2時，
i）當MC=MB時，如圖6，
∵MQ⊥AB，
∴CQ=BQ，
∵CQ=2x，BQ=4-2x，
∴2x=4-2x，
∴x=1；
ii）當CM=CB時，如圖7，
∴CM=BC=4，
∵MQ⊥AB，MQ=x，CQ=2x，
根據(jù)勾股定理得，CM²=CQ²+MQ²
∴16=（2x）²+x²，
∴x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（舍），

iii）當MB=BC時，如圖10，Q此時在CB的延長線上，不符合題意，

②當2＜x≤4時，如圖8，
i）當MC=MB時，MD⊥BC，
∴CD=BD，則AQ=BQ，
x=4；
ii）當BC=MB時，如圖9，延長MQ交BC于D，則MD⊥BC，
MQ=PC=x，BQ=$\sqrt{2}$（x-2），BM=BC=4，
∴∠ABC=45°，
∴DQ=BD=x-2，
在Rt△MDB中，MB²=MD²+BD²，
∴4²=（x-2）²+（x+x-2）²，
x=$\frac{6+2\sqrt{19}}{5}$，x=$\frac{6-2\sqrt{19}}{5}$（舍），
iii）如圖11，以C為圓心，以CB為半徑畫圓，點P在2＜x≤4范圍內(nèi)運動過程中，M都不可能在圓上，所以MC與BC不可能相等；

綜上所述：PC=1或$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6+2\sqrt{19}}{5}$或4．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了重疊面積的求法，對于重疊圖形的面積，要根據(jù)動點時間的取值進行分析畫圖，并利用各類圖形面積代入求解；同時還考查了分類討論的思想；把二次函數(shù)與幾何結(jié)合在一起，綜合性較強，也增大了難度．