Question

12．如圖所示，△ABC，△ADE為等腰三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如圖1，點E在AB上，點D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是EF=FC；∠EFD的度數(shù)為90°．
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．
（3）若△ADE繞A點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，F(xiàn)為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖3，請猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗證你的猜想．

Answer 1

分析 （1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．
（2）延長線段CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，易證△BFC≌△DFM，進而可以證明△MDE≌△CAE，即可證明EF=FC，EF⊥FC；
（3）基本方法同（2）．

解答 解：
（1）∵△ABC、△AED為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠ECA=90°，
∴∠ECB=45°，
∴BE=EC，
∵F為BD中點，
∴EF⊥BC，
∴EF=FC，∠EFD=90°，
故答案為：EF=FC；90°
（2）如圖2，延長CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，

∵F為BD中點，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FM}\\{∠BFC=∠DMF}\\{BF=DF}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∴∠MDC=∠BCA=90°
∴∠MDE=∠EAC=135°，
在△MDE和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AC}\\{∠MDE=∠EAC}\\{DE=AE}\end{array}\right.$
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，
∴EF=FC，EF⊥FC；
（3）圖形如圖3，

結(jié)論：EF=FC，EF⊥FC．
證明如下：
如圖4，延長CF到M，使CF=FM，連接ME、EC，連接DM交延長交AE于G，交AC于H，

∵F為BD中點，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FM}\\{∠BFC=∠DMF}\\{BF=DF}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，HD∥BC，
∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，
∴∠MDE=∠EAC，
在△MDE和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AC}\\{∠MDE=∠EAC}\\{DE=AE}\end{array}\right.$
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，
∴EF=FC，EF⊥FC．

點評 本題為幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及知識點有等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定等．構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，即延長過三角形的中線構(gòu)造全等三角形是常用的輔助線方法，證明線段相等的問題可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題解決．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是（2）、（3）兩問的構(gòu)造三角形全等難度較大．