【題目】對于⊙C與⊙C上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足:射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合),且,則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長點(diǎn)”.
已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),⊙O的半徑為1,點(diǎn)A(-1,0).
(1)若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且點(diǎn)P在x軸上,請寫出一個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)________;
(2)若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且滿足,求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍;
(3)直線與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,直接寫出b的取值范圍是_____________________________.
【答案】(1)(2,0)(答案不唯一);(2)或;(3)或.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,在x軸上找點(diǎn)P是比較簡單的,這樣的P點(diǎn)不是唯一的,如點(diǎn)(2,0)、(1,0)等;
(2)如圖1,在x軸上方作射線AM交⊙O于點(diǎn)M,使tan∠MAO=,并在射線AM是取點(diǎn)N,使MN=AM,則由題意可知,線段MN上的點(diǎn)都是符合條件的B點(diǎn),過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H,連接MC,結(jié)合已知條件求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)即可得到所求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的取值范圍;根據(jù)對稱性,在x軸的下方得到線段M′N′,同理可求得滿足條件的B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的另一取值范圍;
(3)如圖2,3,由與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,由此結(jié)合∠OMN的正切函數(shù)可求得∠OMN=60°;
以點(diǎn)D(1,0)為圓心,2為半徑作圓⊙D,則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A,由題意可知,點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi),包括兩個圓(但點(diǎn)A除外).
然后結(jié)合題意和∠OMN=60°分b>0和b<0兩種情況在圖2和圖3中求出ON1和ON2的長即可得到b的取值范圍了.
試題解析:
(1)由題意可知,在x軸上找點(diǎn)P是比較簡單的,這樣的P點(diǎn)不是唯一的,如點(diǎn)(2,0)、(1,0)等;
(2)如圖1,在x軸上方作射線AM,與⊙O交于M,且使得,并在AM上取點(diǎn)N,使AM=MN,并由對稱性,將MN關(guān)于x軸對稱,得,則由題意,線段MN和上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B.
作MH⊥x軸于H,連接MC,
∴ ∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC是⊙O的直徑,
∴ ∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
∴.
∴.
設(shè),則, ,
∴,解得,即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.
又由,A為(-1,0),可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為,
故在線段MN上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足: .
由對稱性,在線段上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足: .
∴ 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍是或.
(3)如圖2,以點(diǎn)D(1,0)為圓心,2為半徑作圓⊙D,則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A,由題意可知,點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi),包括兩個圓(但點(diǎn)A除外).
∵直線與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,
∴tan∠OMN=,
∴∠OMN=60°,
要在線段MN上找點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,現(xiàn)分“b>0”和“b<0”兩種情況討論:
I、①當(dāng)直線過點(diǎn)N1(0,1)時,線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長點(diǎn)”N1,此時b=1;
②當(dāng)直線與⊙D相切于點(diǎn)B時,線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長點(diǎn)”B,此時直線與y軸相交于點(diǎn)N2,與x軸相交于點(diǎn)M2,連接DB,則DB=2,
∴DM2=,
∴OM2=,
∴ON2=tan60°·OM2=,此時b=.
綜合①②可得,當(dāng)b>0時,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: ;
II、當(dāng)b<0時,如圖3,同理可得若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: ;
綜上所述,若在線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: 或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將函數(shù)y=(x﹣2)2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象,其中點(diǎn)A(1,m),B(4,n)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'、B'.若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分),則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖點(diǎn)P是△ABC的邊BC上的一動點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線AB成軸對稱,連接EP交AB于點(diǎn)F,連接AP、EC相交于點(diǎn)O,連接AE.
(1)判斷AE與AP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中,當(dāng)AE∥BC時,判斷AP與BP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)若∠BAC=900,點(diǎn)P在運(yùn)動過程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況,若存在,請求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個少年在綠茵場上游戲.小紅從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B,小蘭從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度沿⊙O逆時針運(yùn)動一周回到點(diǎn)C,兩人的運(yùn)動路線如圖1所示,其中ACDB.兩人同時開始運(yùn)動,直到都停止運(yùn)動時游戲結(jié)束,其間他們與點(diǎn)C的距離y與時間x(單位:秒)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.則下列說法正確的是( 。
A. 小紅的運(yùn)動路程比小蘭的長
B. 兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻相遇
C. 當(dāng)小紅運(yùn)動到點(diǎn)D的時候,小蘭已經(jīng)經(jīng)過了點(diǎn)D
D. 在4.84秒時,兩人的距離正好等于⊙O的半徑
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畫圖,探究:
(1)一個正方體組合圖形的主視圖、左視圖(如圖1)所示.
①這個幾何體可能是(圖2)甲、乙中的 ;
②這個幾何體最多可由 個小正方體構(gòu)成,請?jiān)趫D3中畫出符合最多情況的一個俯視圖.
(2)如圖,已知一平面內(nèi)的四個點(diǎn)A、B、C、D,根據(jù)要求用直尺畫圖.
①畫線段AB,射線AD;
②找一點(diǎn)M,使M點(diǎn)即在射線AD上,又在直線BC上;
③找一點(diǎn)N,使N到A、B、C、D四個點(diǎn)的距離和最短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩個大小完全一樣的長方形OABC和EFGH重合放在一起,邊OA、EF在數(shù)軸上,O為數(shù)軸原點(diǎn)(如圖1),長方形OABC的邊長OA的長為6個坐標(biāo)單位.
(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為 .
(2)將長方形EFGH沿數(shù)軸所在直線水平移動
①若移動后的長方形EFGH與長方形OABC重疊部分的面積恰好等于長方形OABC面積的,則移動后點(diǎn)F在數(shù)軸上表示的數(shù)為 .
②若出行EFGH向左水平移動后,D為線段AF的中點(diǎn),求當(dāng)長方形EFGH移動距離x為何值時,D、E兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是互為相反數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別與x軸、y軸交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)C(4,2).
(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為( , ),B為( , );
(2)在線段上有一點(diǎn)E,過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時,四邊形是平行四邊形;
(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q,使得四個點(diǎn)能構(gòu)成一個菱形.若存在,求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P從(0,2)出發(fā),沿所示的方向運(yùn)動,每當(dāng)碰到矩形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當(dāng)點(diǎn)P第2019次碰到矩形的邊時點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A.( 2,4 )B.( 2,0 )C.( 8,2)D.( 6,0 )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n﹣2)×180°.
(1)甲同學(xué)說,θ能取900°;而乙同學(xué)說,θ也能取800°.甲、乙的說法對嗎?若對,求出邊數(shù)n.若不對,說明理由;
(2)若n邊形變?yōu)椋?/span>n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°,用列方程的方法確定x.
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