Question

8．如圖，AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線交于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=$\frac{3}{2}$，則線段CD的長為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)相交弦定理求CF的長，利用BD∥CF，得$\frac{CF}{BD}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，求BD的長和CD與AD的比，所以設(shè)CD=x，則AD=4x，利用切割線定理列式求x的值，則就是CD的長．

解答 解：由相交弦定理得：AF•BF=EF•CF，
∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=$\frac{3}{2}$，
∴3×1=$\frac{3}{2}$CF，
∴CF=2，
∵BD∥CF，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{2}{BD}=\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{8}{3}$，
設(shè)CD=x，則AD=4x，
∵BD是⊙O的切線，
∴BD²=CD•AD，
∴$（\frac{8}{3}）^{2}$=x•4x，
∴x=±$\frac{4}{3}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相交弦定理和切割線定理，熟知定理的內(nèi)容是做好本題的關(guān)鍵，同時與平行線分線段成比例定理相結(jié)合，得出線段的比，根據(jù)這個比的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，得出結(jié)論．