Question

如圖，在直角坐標系中，直線l經過原點O，點P是第一象限內直線l上的點，過點P作PA垂直y軸于點A，點P的橫坐標為1，點B的橫坐標為5，PB⊥PO，交x軸于點B．
（1）試說明PO²=PA•OB；
（2）點M為x軸上的動點，若有△AOM與△POB相似，求M的坐標．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）由條件證明△PAO∽△0PB，再利用相似三角形的性質可證得結論；
（2）由（1）結論可先求得PO，在Rt△PAO中求得AO，在Rt△POB中可求得PB，設M坐標為（x，0），可表示出MO，當△AOM與△POB相似分兩種情況討論，分別得到關于x的方程，解得x即可．

解答：解：（1）∵PA⊥y軸，
∴PA∥x軸，
∴∠APO=∠POB，
∵BP⊥PO，
∴∠PAO=∠OPB，
∴△PAO∽△OPB，
∴

PA

PO

=

PO

OB

，
∴PO²=PA•OB；
（2）∵P的橫坐標為1，點B的橫坐標為5，
∴PA=1，OB=5，
∴PO²=1×5=5，
∴PO=

5

，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得AO=2，
在Rt△PBO中，由勾股定理可得PB=2

5

，
設M坐標為（x，0），則OM=|x|，
∵∠OPB=∠AOM=90°，
∴當△AOM與△POB相似時有兩種情況，
①當△AOM∽△OPB時，則

AO

OP

=

OM

PB

，即

2

5

=

|x|

2 5

，解得x=±4，此時M坐標為（-4，0）或（4，0）；
②當△AOM∽△BPO時，則

AO

BP

=

OM

PO

，即

2

2 5

=

|x|

5

，解得x=±1，此時M坐標為（-1，0）或（1，0）；
綜上可知點M坐標為（-4，0）或（4，0）或（-1，0）或（1，0）．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質及勾股定理、點的坐標的意義等知識點的綜合應用．掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵，在（2）中注意分情況討論和方程思想的應用．設出點的坐標表示出線段的長度，利用線段的關系得到關于x的方程是解決這類問題的一般思路．本題難度適中，考查基礎知識．