Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線l₁、l₂分別與雙曲線y=（k≠0）相交于A、B、P、Q四點(diǎn)，其中A、P兩點(diǎn)在第一象限，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．

（1）求k值及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積；

（3）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），且∠APB=90°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

解答：    解：（1）把A（3，1）代入y=得k=3×1=3，

∵經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₁與雙曲線y=（k≠0）相交于A、B、

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）；

（2）把P（a，3）代入y=得3a=3，解得a=1，

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），

∵經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₂與雙曲線y=（k≠0）相交于P、Q點(diǎn)，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），

∵OA=OB，OP=OQ，

∴四邊形APBQ為平行四邊形，

∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PQ²=（1+1）²+（3+3）²=40，

∴AB=PQ，

∴四邊形APBQ為矩形，

∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3﹣1）²+（1﹣3）²=8，

∴PB=4，PQ=2，

∴四邊形APBQ的面積=PA•PB=2•4=16；

（3）∵四邊形APBQ為平行四邊形，

而∠APB=90°，

∴四邊形APBQ為矩形，

∴OP=OA，

∴m²+n²=3²+1²=10，

而mn=3，

∵（m+n）²﹣2mn=10，

∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=﹣4（舍去），

把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的兩根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．