Question

4．梯形ABCD中，DC∥AB，DC=3，AB=4，E是DA的黃金分割點(diǎn)，且EF∥AB，則EF=$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．

Answer 1

分析 先由E是DA的黃金分割點(diǎn)，且DE＞EA，根據(jù)黃金分割的定義得出$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．再證明DC∥EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{CF}{CB}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．過D作DM⊥AB于M，交EF于G，過C作CN⊥AB于N，交EF于H，則MN=GH=DC=3，AM+BN=AB-CD=1．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{EG}{AM}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，那么EG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AM，HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BN，然后根據(jù)EF=EG+GH+HF即可求解．

解答 解：∵E是DA的黃金分割點(diǎn)，DE＞EA，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵DC∥AB，EF∥AB，
∴DC∥EF∥AB，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
過D作DM⊥AB于M，交EF于G，過C作CN⊥AB于N，交EF于H，則MN=GH=DC=3，AM+BN=AB-CD=1．
∵EG∥AM，
∴$\frac{EG}{AM}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AM，
同理，HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BN，
∴EG+HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（AM+BN）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴EF=EG+GH+HF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$+3=$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}+5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．也考查了梯形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．