Question

11．在一張長為8cm、寬為7cm的長方形紙片上，要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，其余的兩個頂點都在長方形的邊上，則剪下的等腰三角形的面積是12.5或$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$或10cm²．

Answer 1

分析 因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分（1）腰長在矩形相鄰的兩邊上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長上，三種情況討論．（1）△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解即可；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解即可．

解答 解：分三種情況計算：
（1）當AE=AF=5厘米時，

∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5厘米²，
（2）當AE=EF=5厘米時，如圖

BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$厘米，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=$\frac{1}{2}$×5×$\sqrt{21}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$厘米²，
（3）當AE=EF=5厘米時，如圖

DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=4厘米，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$×5×4=10厘米²，
故答案為：12.5或$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$或10．

點評 本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論是解題的關鍵也是此題的難點．