Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n），若點(diǎn)A′（m，n′）的縱坐標(biāo)滿足n′=，則稱點(diǎn)A′是點(diǎn)A的“絕對(duì)點(diǎn)”．

（1）點(diǎn)（3，2）的“絕對(duì)點(diǎn)”的坐標(biāo)為　　．

（2）點(diǎn)P是函數(shù)y=4x-1的圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)P′是點(diǎn)P的“絕對(duì)點(diǎn)”．若點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)Q（a，b）的“絕對(duì)點(diǎn)”Q′是函數(shù)y=2x2的圖象上的一點(diǎn)．當(dāng)0≤a≤2 時(shí)，求線段QQ′的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，1）；（2）m=,n=;（3）Q Q′的最大值為14或2

【解析】分析：（1）根據(jù)絕對(duì)點(diǎn)的定義，可得答案；（2）根據(jù)絕對(duì)點(diǎn)的定義，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）當(dāng)a≥b時(shí)，Q′的坐標(biāo)為（a，a-b），由Q′是函數(shù)y=2x2的圖象上一點(diǎn)知a-b=2a，即b=a-2a．可得QQ′=|a-b-b|=|a-2（a-2a2）|=|4a2-a|，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出其最大值；當(dāng)a<b時(shí)，Q′的坐標(biāo)為（a，b-a），知QQ′=|b-b+a|=|a|，顯然可得其最值．

本題解析：

解：（1）∵3＞2，

∴點(diǎn)（3，2）的“絕對(duì)點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為3﹣2=1，

則點(diǎn)（3，2）的“絕對(duì)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3，1），

故答案為：（3，1）

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）．

當(dāng)m≥n時(shí)，P′的坐標(biāo)為（m，m﹣n）．

若P與P′重合，則n=m﹣n，

又n=4m-1．∴2（4m-1）=m,m= ,n= .

（3）當(dāng)a≥b時(shí)，Q′的坐標(biāo)為（a，a﹣b）．

因?yàn)?/span>Q′是函數(shù)y=2x2的圖象上一點(diǎn)，

所以a﹣b=2a2．

即b=a﹣2a 2．

QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，

當(dāng)a=2時(shí)，QQ′的最大值為14．

當(dāng)a＜b時(shí)，Q′的坐標(biāo)為（a，b﹣a）．

QQ′=|b﹣b+a|=|a|．

當(dāng)a=2時(shí)，QQ′的最大值為2．

綜上所述，Q Q′的最大值為14或2