Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線AC-CB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．當(dāng)點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)P作其所在直角邊的垂線交AB 于點(diǎn)Q，再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR，且點(diǎn)R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側(cè)，設(shè)△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)P在AC邊上時(shí)PQ的長，（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）求點(diǎn)R到AC、PQ所在直線的距離相等時(shí)t的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出點(diǎn)R落在△ABC高線上時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】(1) 3t；(2) 0＜t＜1或t=；(3)s=-28t2+44t-16；(4)

【解析】

試題分析：（1）只需利用三角函數(shù)就可解決問題；

（2）可分點(diǎn)P在AC邊上（圖①）和點(diǎn)P在BC邊上（圖②）兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí)，易得點(diǎn)R到AC、PQ所在直線的距離始終相等，從而可得0＜t＜1；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，易得PC=PQ，由此建立關(guān)于t的方程，就可解決問題；

（3）可分△PQR全部在△ABC內(nèi)和△PQR部分在△ABC內(nèi)兩種情況討論：當(dāng)△PQR全部在△ABC內(nèi)時(shí)，只需運(yùn)用三角形的面積公式就可解決問題；當(dāng)△PQR部分在△ABC內(nèi)時(shí)，只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問題；

（4）可分以下幾種情況討論：點(diǎn)R在AB的高CH上（如圖④和圖⑦）、點(diǎn)R在AC的高BC上（如圖⑤）、點(diǎn)R在BC的高AC上（如圖⑥），其中圖④和圖⑦可通過構(gòu)造K型全等，并利用相似三角形的性質(zhì)來解決問題，圖5和圖6可通過PQ=2PC來解決問題．

試題解析：（1）如圖①，

由題意可知AP=4t，

tanA=，

∴PQ=3t；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí)，如圖①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，

∴∠CPR=45°=∠RPQ，

∴點(diǎn)R到直線AC、PQ距離相等，

此時(shí)0＜t＜1．

②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H，如圖②，

則有PC=4t-4，PB=7-4t，

∵tanB=，

∴PQ=PB=（7-4t）．

由題可得：RH=PC．

∵RH=PQ，

∴PC=PQ，

∴4t-4=（7-4t），

解得：t=．

綜上所述：0＜t＜1或t=；

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖①．

過點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H，

S=PQRH=×3t×=t2．

②當(dāng)＜t＜1時(shí)，如圖③．

過點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，

則有RG⊥MN，RH=PQ=t，GH=PC=4-4t，

∴S=S△RPQ-S△RMN=PQRH-MNRH

=RH2-RG2=（t）2-[t-（4-4t）]2

=-28t2+44t-16；

（4）點(diǎn)R落在△ABC高線上時(shí)，t的值為，，，.

可分以下幾種情況討論：如圖④～⑦

①點(diǎn)P在AC上，且點(diǎn)R在AB的高CH上，如圖④，

過點(diǎn)P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易求得AB=5，CH=，AH=，BH=．

PC=4-4t，CG=PC=（4-4t），PG=PC=（4-4t），

AQ=AP=5t，QH=AH-AQ=-5t．

根據(jù)CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=，得

（4-4t）+-5t+（4-4t）=，

解得：t=．

②點(diǎn)P在AC上，且點(diǎn)R在AC的高BC上，如圖⑤

過點(diǎn)R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=AP=3t，PC=4-4t，

∴3t=2（4-4t），

解得：t=．

③點(diǎn)P在BC上，且點(diǎn)R在BC的高AC上，如圖⑥，

過點(diǎn)R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=PB=（7-4t），PC=4t-4，

∴（7-4t）=2（4t-4），

解得：t=．

④點(diǎn)P在BC上，且點(diǎn)R在AB的高CH上，如圖⑦，

過點(diǎn)P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易證△CGP∽△CHB，

∴．

∵BC=3，CH=，BH=，CP=4t-4，

∴CG=PC=（4t-4），PG=PC=（4t-4），

同理可得QB=PB=（7-4t），QH=QB-BH=（7-4t）-．

根據(jù)CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=，得

（4t-4）+（4t-4）-[（7-4t）-]=，

解得：t=．