Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．

（參考公式：y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣ ， ）．
（1）若當(dāng)n=4時(shí)求c，b并寫(xiě)出拋物線對(duì)稱(chēng)軸及y的最大值；
（2）求證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x2的圖像上；
（3）若拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求n為何值時(shí)，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經(jīng)過(guò)正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)n=4時(shí)，則P（4，0），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值4

（2）

證明：把O、P的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+nx=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

在y=x2中，當(dāng)x= 時(shí)，y= ，

∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x2的圖像上

（3）

解：在y=﹣x2+nx中，當(dāng)x=2時(shí)，y=2n﹣4，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2n﹣4），

∴N到x軸的距離為|2n﹣4|=2|n﹣2|，

∵P（n，0），

∴OP=n，

∴S△NPO= n×2|n﹣2|=n|n﹣2|，

當(dāng)△NPO的面積為1時(shí)，則有n|n﹣2|=1，

當(dāng)n=2時(shí)，N、P重合，不成立，

當(dāng)n＞2時(shí)，則n2﹣2n=1，解得n=1+ 或n=1﹣ （此時(shí)n小于2，舍去），

當(dāng)0＜n＜2時(shí)，則2n﹣n2=1，解得n1=n2=1，

綜上可知當(dāng)n的值為1+ 或1時(shí)，△NPO的面積為1

（4）

解：∵拋物線解析式為y=﹣x2+nx，

∴當(dāng)過(guò)A（2，2）時(shí)，代入可得2=﹣4+2n，解得n=3，

同理當(dāng)拋物線過(guò)B時(shí)可求得n= ，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)可求得n=4，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)D時(shí)可求得n= ，

∴n的取值范圍為3≤n≤4

【解析】（1）把原點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b、c，則可求得拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式可求得其對(duì)稱(chēng)軸和最大值；（2）用n可表示出拋物線的解析式，則可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=x2進(jìn)行驗(yàn)證即可；（3）可用n表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出N到x軸的距離和OP的長(zhǎng)，可表示出△NPO的面積，可得到關(guān)于n的方程，可求得n的值；（4）分別把A、B、C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得n的值，則可求得n的取值范圍．