Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，BE，CF分別交邊AD于點E，F(xiàn)，在平行四邊形內(nèi)部交于點G，設$\frac{BG}{EG}$=x，$\frac{AB}{BC}$=y，則y與x的函數(shù)表達式為y=$\frac{1+x}{2x}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構建平行線，根據(jù)平行相似得：△EHG∽△EAB和△EGF∽△BGC，列比例式表示BC和AB的長，代入y式中，可求得y與x的函數(shù)表達式．

解答 解：過G作GH∥AB，交AD于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，
∴∠ABE=∠GBC=$\frac{1}{2}∠ABC$，∠GCB=$\frac{1}{2}∠BCD$，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∵GH∥AB，
∴△EHG∽△EAB，
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{EG}{BE}$，
∵$\frac{BG}{EG}$=x，
∴$\frac{EG}{BE}=\frac{1}{1+x}$，
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{1}{1+x}$，
∴AB=GH（1+x），
∵EF∥BC，
∴△EGF∽△BGC，
∴$\frac{EG}{BG}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{BC}{EF}=x$，
∴BC=EFx，
∴y=$\frac{GH（1+x）}{EFx}$，
∵GH∥AB，
∴∠ABE=∠HGE，
∴∠HGE=∠AEB，
∴GH=HE，
同理得：FH=GH，
∴GH=FH=HE，
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1+x}{2x}$；
故答案為：y=$\frac{1+x}{2x}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形常用的判定方法是：平行于三角形一邊的直線，所構成的三角形與原三角形相似；相似三角形中一般輔助線作法是：通過作平行線構造相似三角形，使問題得以解決．