Question

【題目】如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定出點(diǎn)P的位置,再求出∠CBD=30°，進(jìn)而判斷出△BCC是等邊三角形,即可得出結(jié)論．

解：如圖,作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接EC交BD于點(diǎn)P,連接PC,

∵點(diǎn)C與點(diǎn)C是關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),
∴CP=CP,
∴CP+PE=CP+PE=CE,

在BD上任取異于點(diǎn)P的P，連接PE,PC,CP,
CP+PE=PC+PE>CE,
∴點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)，EC的長(zhǎng)度PE + PC的最小值,

∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°
∵DC=AB=2,
∵tan∠CBD=
∴∠ CBD= 30°,
∴點(diǎn)C和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，設(shè)CC交BD于G,
∴ BD是CC的垂直平分線(xiàn)，連接BC
∴∠CBD=∠CBD=30°, BC=BC,
∴∠ CBC= 60°,
∴△BCC是等邊三角形,
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE⊥BC,
∴CE=
∴PC+PE=3, ∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=

∴周長(zhǎng)的最小值是:PC+PE+CE=3+

故答案為：3+